trójkąt wpisany w okrąg

[BarT123oks]

W koło o promieniu \( 2\sqrt6\) wpisujemy trójkąt równoboczny, a następnie w ten trójkąt wpisujemy koło itd. Oblicz sumę pól pięciu takich trójkątów.

[janusz55]

Rysunek.

\( S_{5} = P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}+P_{5} \)

Trójkąt 1

\( r_{1}= R = 2\sqrt{6},\)

Promień koła opisanego na trójkącie równobocznym:

\( r_{1} = \frac{a_{1}\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{6} \)

\( a_{1}= \frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{18}}{3}=\frac{6\cdot 3\sqrt{2}}{3} = 6\sqrt{2}.\)

\( P_{1}= \frac{a^2_{1}\sqrt{3}}{4} = \frac{(6\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}= \frac{72\sqrt{3}}{4}= 18\sqrt{3}.\)

Trójkąt 2

\( r_{2} = \frac{1}{2}r_{1} = \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{6} = \sqrt{6}.\)

\( r_{2} = \frac{a_{2}\sqrt{3}}{3}= \sqrt{6}\)

\( a_{2} = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{3\cdot 3\sqrt{2}}{3} = 3\sqrt{2}.\)

\( P_{2}= \frac{a^2_{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{(3\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{18\sqrt{3}}{4} = 4,5\sqrt{3}.\)

Trójkąt 3
........................................................................................................

Ciąg geometryczny pól trójkątów równobocznych o ilorazie \( q = \frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{4,5\sqrt{3}}{18\sqrt{3}}= \frac{1}{4}.\)

Suma pięciu składników tego ciągu:

\( S_{5} = P_{1}\cdot \frac{1-q^5}{1- q} = \ \ ....\)