Równanie Różniczkowe Cząstkowe Quasi Liniowe

[maciekao]

x * Ux (x,y) = U^3 in R^2
U(x,x) = arcsin(x)


Próbowałem rozwiązać je taką metodą:

dx = x du = u^3 całkuję i następnie używam warunków brzegowych. Jednak potrafię zrobić to tylko dla prostych przykładów. Ten jest bardziej zawiły. Może da się to zrobić używając method of characteristics. Proszę o pomoc i pozdrawiam

[octahedron]

\(xU_x=U^3\\
U(x,x)=\arcsin x\\
\begin{cases}
\frac{dx}{dt}=x\\
\frac{dy}{dt}=0\\
\frac{dU}{dt}=U^3\\
x(0,s)=s\\
y(0,s)=s\\
U(0,s)=\arcsin s\\
\end{cases}
\quad\Rightarrow\quad
\begin{cases}
x=C_1e^t\\
y=C_2\\
U=\pm\frac{1}{\sqrt{C_3-2t}}\\
x(0,s)=C_1=s\\
y(0,s)=C_2=s\\
U(0,s)=\pm\frac{1}{\sqrt{C_3}}=\arcsin s\\
\end{cases}
\quad\Rightarrow\quad
\begin{cases}
x=se^t\\
y=s\\
U=\pm\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\arcsin^2 s}-2t}}\\
\end{cases}\\
U(x,y)=\pm\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\arcsin^2 y}-2\ln\left(\frac{x}{y}\right)}}\)

[octahedron]

Albo prościej:

\(x\frac{\partial U}{\partial x}=U^3\\
\frac{\partial U}{U^3\partial x}=\frac{1}{x}\\
\int\frac{dU}{U^3}=\int\frac{dx}{x}\\
-\frac{1}{2U^2}=\ln|x|+C(y)\\
U(x,y)=\pm\frac{1}{\sqrt{C(y)-2\ln|x|}}\\
U(x,x)=\pm\frac{1}{\sqrt{C(x)-2\ln|x|}}=\arcsin x\\
C(x)=\frac{1}{\arcsin^2x}+2\ln|x|\\
U(x,y)=\pm\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\arcsin^2y}+2\ln|y|-2\ln|x|}}=\pm\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\arcsin^2y}-2\ln\left|\frac{x}{y}\right|}}\\\)