Witajcie, szukam pomocy w rozwiązaniu tego zadania:
Oblicz \(tg \alpha +tg \beta +tg \gamma\) wiedząc, że \(\alpha , \beta , \gamma\) są kątami w trójkącie oraz \(tg \alpha ,tg \beta ,tg \gamma\) są liczbami naturalnymi.
Próbowałam zrobić to zadanie stosując twierdzenie sinusów i cosinusów aby potem wyrazić tg jako sin/cos ale nie wychodzi mi wspólny mianownik i nie wiem jak to zrobić.
matura rozszerzona (tg kątów są liczbami naturalnymi)
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 871
- Rejestracja: 11 gru 2010, 17:46
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Otrzymane podziękowania: 415 razy
- Płeć:
oznaczmy te tangensy odpowiednio przez \(a,b,c\)
ze wzoru na tangens sumy kątów \(c = \frac{a+b}{ab-1}\)
prawa strona jest symetryczna względem a i b, załóżmy więc, że \(b \leq a\)
1) \(b=1\), wtedy \(c = \frac{a+1}{a-1}\)
wówczas
dla \(a=2,c=3\)
dla \(a=3,c=2\)
dla \(a\ge 4\) wartość c nie będzie liczbą całkowitą
2) \(b=2\), wtedy \(c = \frac{a+2}{2a-1}\)
wówczas
dla \(a=2\),c nie będzie liczbą całkowitą
dla \(a=3,c=1\)
dla \(a\ge 4\) c nie będzie liczbą całkowitą
3) \(a\geq b\geq 3\)
\(a+b \leq 2a \leq a(b-1)\)
\(ab-1>ab-a=a(b-1)\)
czyli \(c< \frac{a(b-1)}{a(b-1)} = 1\) i znowu c nie będzie liczbą całkowitą
ze wzoru na tangens sumy kątów \(c = \frac{a+b}{ab-1}\)
prawa strona jest symetryczna względem a i b, załóżmy więc, że \(b \leq a\)
1) \(b=1\), wtedy \(c = \frac{a+1}{a-1}\)
wówczas
dla \(a=2,c=3\)
dla \(a=3,c=2\)
dla \(a\ge 4\) wartość c nie będzie liczbą całkowitą
2) \(b=2\), wtedy \(c = \frac{a+2}{2a-1}\)
wówczas
dla \(a=2\),c nie będzie liczbą całkowitą
dla \(a=3,c=1\)
dla \(a\ge 4\) c nie będzie liczbą całkowitą
3) \(a\geq b\geq 3\)
\(a+b \leq 2a \leq a(b-1)\)
\(ab-1>ab-a=a(b-1)\)
czyli \(c< \frac{a(b-1)}{a(b-1)} = 1\) i znowu c nie będzie liczbą całkowitą
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 147
- Rejestracja: 05 mar 2009, 00:17
- Podziękowania: 131 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
Re:
Dlaczego zakładamy że c=a+b ?sebnorth pisze:oznaczmy te tangensy odpowiednio przez \(a,b,c\)
ze wzoru na tangens sumy kątów \(c = \frac{a+b}{ab-1}\)
Wzór który ja znam jako tg sumy kątów to: \(tg( \alpha + \beta )= \frac{tg \alpha +tg \beta }{1-tg \alpha \cdot tg \beta }\)