Udowodnij, że:
\(1^2+2^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Bardzo prosiłbym o pomoc.
Udowodnij
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Dowód indukcyjny ma dwa etapy:
1.Sprawdzenie,czy równość jest prawdziwa dla n=1
2.Dowód implikacji,że z prawdziwości dla dowolnego n wynika prawdziwość dla liczby kolejnej,czyli dla (n+1).
Piszesz:
1.
Dla n=1
\(L(1)=1^2=1\\P(1)= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}=1\\L(1)=P(1)\)
2.
Zakładasz prawdziwość dla n
i korzystając z tego wzoru dowodzisz prawdziwość dla n+1.
\(Założenie\;indukcyjne:\\1^2+2^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(Teza\;indukcyjna:\\
1^2+2^2+...+n^2+(n+1)^2= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\)
Dowodzisz tezę indukcyjną korzystając z założenia...
\(L(n+1)=1^2+2^2+362+...+n^2+(n+1)^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2= \frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}= \\=\frac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}= \frac{(n+1)[2n^2+n+6n+6]}{6}= \frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}=P(n+1)\)
Jasne jest,że \(2n^2+7n+6=2(n+ \frac{3}{2})(n+2)=(2n+3)(n+2)\) ,możesz to potwierdzić licząc deltę i miejsca zerowe
i przedstawić trójmian w postaci iloczynowej.
1.Sprawdzenie,czy równość jest prawdziwa dla n=1
2.Dowód implikacji,że z prawdziwości dla dowolnego n wynika prawdziwość dla liczby kolejnej,czyli dla (n+1).
Piszesz:
1.
Dla n=1
\(L(1)=1^2=1\\P(1)= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}=1\\L(1)=P(1)\)
2.
Zakładasz prawdziwość dla n
i korzystając z tego wzoru dowodzisz prawdziwość dla n+1.
\(Założenie\;indukcyjne:\\1^2+2^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(Teza\;indukcyjna:\\
1^2+2^2+...+n^2+(n+1)^2= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\)
Dowodzisz tezę indukcyjną korzystając z założenia...
\(L(n+1)=1^2+2^2+362+...+n^2+(n+1)^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2= \frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}= \\=\frac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}= \frac{(n+1)[2n^2+n+6n+6]}{6}= \frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}=P(n+1)\)
Jasne jest,że \(2n^2+7n+6=2(n+ \frac{3}{2})(n+2)=(2n+3)(n+2)\) ,możesz to potwierdzić licząc deltę i miejsca zerowe
i przedstawić trójmian w postaci iloczynowej.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
-
- Stały bywalec
- Posty: 285
- Rejestracja: 11 sty 2016, 13:20
- Otrzymane podziękowania: 148 razy
- Płeć:
Zauważ, że dodajesz kwadraty kolejnych liczb naturalnych od 1do n.
Dla n=1 mamy L=\(1^2\)
Dla n=2 mamy L=\(1^2+2^2\)
... itd.
Dla n=1 mamy L=\(1^2\)
Dla n=2 mamy L=\(1^2+2^2\)
... itd.
Ostatnio zmieniony 24 maja 2016, 22:27 przez lambda, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
A nieindukcyjnie np. tak:
\(S_n=\sum\limits_{k=0}^nk^3\\
S_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}k^3=\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3=\sum\limits_{k=0}^n(k+1)^3=\sum\limits_{k=0}^nk^3+3\sum\limits_{k=0}^nk^2+3\sum\limits_{k=0}^nk+\sum\limits_{k=0}^n1\\
S_{n+1}-S_n=(n+1)^3=3\sum\limits_{k=0}^nk^2+3\sum\limits_{k=0}^nk+\sum\limits_{k=0}^n1=3\sum\limits_{k=0}^nk^2+\frac{3n(n+1)}{2}+n+1\\
\sum\limits_{k=1}^nk^2=\sum\limits_{k=0}^nk^2=\frac{1}{3}\left((n+1)^3-\frac{3n(n+1)}{2}-(n+1)\right)=\frac{(n+1)(2(n+1)^2-3n-2)}{6}
=\frac{(n+1)(2n^2+n)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(S_n=\sum\limits_{k=0}^nk^3\\
S_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}k^3=\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3=\sum\limits_{k=0}^n(k+1)^3=\sum\limits_{k=0}^nk^3+3\sum\limits_{k=0}^nk^2+3\sum\limits_{k=0}^nk+\sum\limits_{k=0}^n1\\
S_{n+1}-S_n=(n+1)^3=3\sum\limits_{k=0}^nk^2+3\sum\limits_{k=0}^nk+\sum\limits_{k=0}^n1=3\sum\limits_{k=0}^nk^2+\frac{3n(n+1)}{2}+n+1\\
\sum\limits_{k=1}^nk^2=\sum\limits_{k=0}^nk^2=\frac{1}{3}\left((n+1)^3-\frac{3n(n+1)}{2}-(n+1)\right)=\frac{(n+1)(2(n+1)^2-3n-2)}{6}
=\frac{(n+1)(2n^2+n)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)