Zbieżność szeregu - wytłumaczenie

[piotrekq94]

Witam

Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak krok po kroku wykonywać przykłady w których należ zbadać zbieżność szeregu. Co skąd się wzięło i dlaczego. W taki sposób hmm łopatologiczny.


\(\sum_{ \infty }^{n=1} \frac{n3^n}{(n+1)6^{n+1}}\)


\(\sum_{ \infty }^{n=1} \frac{n3^{2n}}{(3n-1)4^{n+1}}\)

[miodzio1988]

Zastosuj kryterium Cauchy'ego od razu ładnie wychodzi

[piotrekq94]

A takim hmm standardowym sposobem jak to zrobić?
Mógłby mi ktoś pokazać na jedynm przykładzie jak krok po kroku to zrobić?

[miodzio1988]

To jest standardowy sposob. Jaką masz granice do policzenia ?

[piotrekq94]

Treść zadania brzmi tak: Zbadaj zbieżność szeregu tych dwóch przykładów które podałem.

[miodzio1988]

W kryterium Cauchy'ego masz pewną granice, jaką?

[piotrekq94]

Dla przykładu pierwszego będzie tak?

\(\Lim_{x\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{n3^n}{(n+1)6^{n+1}} }\)

[miodzio1988]

Tak. Policz tę granice.

[piotrekq94]

No i własnie chciałbym żeby ktoś na jednym bądź dwóćh przykładach pokazał mi jak to liczyć.

[piotrekq94]

Czy mógłby mi to ktoś wytłumaczyć?

[radagast]

\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{n \cdot 3^n}{(n+1) \cdot 6^{n+1}} }= \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{n \cdot 3^n}{(n+1) \cdot6 \cdot 6^{n}} }= \frac{1}{2} \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{n }{(n+1) \cdot 6 } }= \frac{1}{2} \cdot 1<1\)
Wniosek: szereg jest zbieżny.

[radagast]

Z ten drugi:
\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{\frac{n3^{2n}}{(3n-1)4^{n+1}}} =\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{\frac{n \cdot 9^{n}}{(3n-1) \cdot 4 \cdot 4^{n}}} = \frac{9}{4} \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{\frac{n }{(3n-1) \cdot 4 }} = \frac{9}{4} \cdot 1>1\)
Wniosek: szereg jest rozbieżny.

[piotrekq94]

A czy można to obliczyć podstawiając za \(n\) \(n+1\)?
Jeśli tak to czy mógłby mi to ktoś wytłumaczyć na jednym przykładzie jak to zrobić?

[piotrekq94]

Jak krok po kroku wykonać to działanie:

\(\frac{\frac{(n+1)3^{n+1} }{(n+2)6^{n+2}}}{\frac{n3^n}{(n+1)6^{n+1}}} = \frac{(n+1)3^{n+1} }{(n+2)6^{n+2}} \cdot \frac{(n+1)6^{n+1}}{n3^n}\)

[eresh]

Jak krok po kroku wykonać to działanie:

\(\frac{\frac{(n+1)3^{n+1} }{(n+2)6^{n+2}}}{\frac{n3^n}{(n+1)6^{n+1}}} = \frac{(n+1)3^{n+1} }{(n+2)6^{n+2}} \cdot \frac{(n+1)6^{n+1}}{n3^n}\)

\(\frac{\frac{(n+1)3^{n+1} }{(n+2)6^{n+2}}}{\frac{n3^n}{(n+1)6^{n+1}}} = \frac{(n+1)3^{n+1} }{(n+2)6^{n+2}} \cdot \frac{(n+1)6^{n+1}}{n3^n}=\frac{(n+1)^2\cdot 3^{n+1-n}\cdot 6^{n+1-n-2}}{n(n+2)}=\frac{3(n+1)^2\cdot 6^{-1}}{n(n+2)}=\\=\frac{3(n+1)^2}{6n(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{2n(n+2)}\)