Zbieżność warunkowa - zadanie z parametrem

[Magda6686]

Mam problem i jak zwykle chodzi o zadanie z parametrem.
Zadanie:
Dla jakich wartości parametru \(s \in \rr\) szereg:
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n}}{n^{1-2s}}\)
jest zbiezny warunkowo?

To co wiem ja:
Zbieżny warunkowo tzn. że szereg ten ma być zbieżny ale nie być zbieżny bezwzględnie.

Sparwdzam więc kiedy ten szereg nie jest zbieżny:
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^{1-2s}}\)
Nie jest on zbieżny gdy \(1-2s \le 1\) czyli gdy \( s \ge 0\). (dla takiej wartości parametru szereg o ktory pytamy nie jest zbieżny bezwględnie).

Teraz pozostaje sprawdzić kiedy ten pierwszy szereg jest zbieżny.

Wiem że tutaj trzeba skorzystać z twierdzenia Leibnizta o ciągu naprzemiennym ale nie mogę dopasować tego szeregu do tego twierdzenia bo w twierdzeniu jest albo \((-1)^{n+1}\) albo sumowanie od 0.
Nie wiem : czy można wyciągnąc minus przed cały szereg?

Bardzo proszę o pomoc przy dokończeniu i podanie prawidłowej odpowiedzi.

[miodzio1988]

Spełnia założenia tw Leibniza. Z którym założeniem jest problem?

[Magda6686]

Zedytowałam post bo cały czas nad tym siedze i sie zastanawiam.
Przeczytaj u góry co już mam.

miodzio1988 Swoją drogą ja też z mini

[miodzio1988]

Nie wiem : czy można wyciągnąc minus przed cały szereg?

Mozna. Nie wplywa to na zbieznosc szeregu

[Magda6686]

czyli:
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n}}{n^{1-2s}}=
- \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}}{n^{1-2s}}\)
i teraz wiem że ciąg \(\frac{1}{n^{1-2s}}\) powinien być nierosnący i zbieżny do 0,
tak jest dla \(1-2s \ge 0\)

czyi ostatecznie \(s \in <0 ; \frac{1}{2} >\)

tylko teraz:
Czy to jest dobrze? (całość łącznie z pierwszym postem)
Chciała bym mieć pewnosć że nic mi nie umknęło.

[miodzio1988]

Wygląda sensownie

[Magda6686]

Mam błędy w rozwiązaniu:
Po pierwsze dla \(s = \frac{1}{2}\) szereg nie jest zbieżny.

Po drugie:
To że z kryterium Leibnitza wiem że jest zbieżny dla \(s < \frac{1}{2}\) nie roztrzyga jak jest na reszczie zbioru liczb rzeczywistych.

[miodzio1988]

i teraz wiem że ciąg \(\frac{1}{n^{1-2s}}\) powinien być nierosnący i zbieżny do 0,
tak jest dla \(1-2s \ge 0\)

czyi ostatecznie \(s \in <0 ; \frac{1}{2} >\)

No dla 0.5 nie będzie zbiegał do zera. WIęc masz tutaj błąd

Dla wiekszych od 0.5 pomyśl o warunku koniecznym zbieżności szeregu.
Mniejsze od zera już nas nie interesują