Pole obszaru

[asddsa]

Hej - mam problem z zadaniem: "Oblicz pole obszaru \(D:y=\frac{1}{x^2},y=x,y=9,x=0\)."
Po narysowaniu wykresu podzieliłem obszar na dwa mniejsze:
\(D_1: \begin{cases} 1 \le x \le \sqrt{\frac{1}{y}} \\1 \le y \le 9 \end{cases}\), \(D_2: \begin{cases} 0 \le x \le y \\0 \le y \le 1 \end{cases}\).

Obie liczę po \(dx\), a potem po \(dy\), a ich suma to \(-\frac{133}{6}\). Licząc kratki "na głupa", wychodzi w sporym zaokrągleniu \(4\). Rozumiem, że źle dobralem granice. Jakie powinny być?

[Panko]

wyznaczam punkty przecięcia : \(y=\frac{1}{2^2}\) i \(y=x\) . Dokładnie jeden = \((1,1)\)
podobnie : \(y=9\) i \(y=\frac{1}{x^2}\) . Są to : \(( \frac{1}{3} , 9)\) , \(( -\frac{1}{3} , 9)\)
Ten obszar to czworokąt krzywoliniowy o wierzchołkach w punktach :\((0,9), ( \frac{1}{3} , 9),(1,1),(0,0)\)
Pole tego obszaru ( czworokąt krzywoliniowy) = \(\frac{1}{3} \cdot 9+ \int_{\frac{1}{3} }^{1} \frac{1}{x^2} dx -\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1\)=3+2-\(\frac{1}{2}\)= \(4\frac{1}{2}\)
Ten składnik : \(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1\) to oczywiście pole trójkąta pod wykresem \(y=x\) w granicach od \(x=0\) do \(x=1\)

[asddsa]

Ok, dzięki... Czyli jakie granice powinienem dobrać? Stałe w danych punktach przecięcia się funkcji, czy zapisać to jako całkę iterowaną? Mógłbyś rozpisać pole obszaru tego czworokąta krzywoliniowego jako całkę podwójną?

[Panko]

Np najpierw całkujemy względem zmiennej \(y\)
\(|D|= \int_{x=0}^{x=\frac{1}{3}} ( \int_{y=x}^{y=9}dy )dx + \int_{x=\frac{1}{3} }^{x=1} ( \int_{y=x}^{y=\frac{1}{x^2}}dy )dx\)

Najpierw całkujemy względem zmiennej \(x\)
\(|D|= \int_{y=0}^{y=1} ( \int_{x=0}^{x=y}dx )dy + \int_{y=1} ^{y=9} ( \int_{x=0}^{x=\frac{1}{ \sqrt{y} }}dx )dy\)

[asddsa]

Super, o to chodziło. Dzięki.