Pochodne cząstkowe

[anka]

Zadanie 1. Podaj definicję pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu funkcji dwóch zmiennych. Na podstawie definicji oblicz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji

\(f(x,y)= \begin{cases} \frac{y^3-x^3}{x^2+2y^2}\ \ dla \ \ (x,y) \neq (0,0)\\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ \(x,y)=(0,0) \end{cases}\)

w punkcie \((x_0,y_0)=(0,0)\)

Za podpowiedzi dziękuję, potrzebne mi są tzw gotowce

[patryk00714]

Jeśli \(U \subset_{_}\mathbb{R}^n\) oraz \(f: U \to \mathbb{R}\) oraz \(x \in U\) (U to zbiór otowarty)

to granicę o ile istnieje :

\(\frac{ \partial f}{ \partial x_j}(x)= \lim_{t\to 0}\frac{f(x+te_j)-f(x)}{t}\)

nazywamy pochodną cząstkową po j-tej wspołrzednej,

uwaga: symbol \(x=(x_1,x_2,...,x_j,...,x_n)\) oraz \(e_j=(0,0,0,...,1,...,0,0,0)\) oznacza wektor bazy standardowej (1 jest na j-tym miejscu)

no to liczymy:

\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)= \lim_{t \to 0}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\frac{-t^3}{t^2}-0}{t} =-1\)

oraz

\(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)= \lim_{t \to 0}\frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\frac{t^3}{2t^2}-0}{t} =\frac{1}{2}\)

[patryk00714]

tam jest definicja pochodnej cząstkowej funkcji n-zmiennych.