ciągi

[kasiag910714]

Zad.1
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) w którym \(a_5=2\) oraz \(a_8=14\). Zapisz wzór ogólny ciągu \((a_n)\). dla jakiej wartości n suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest najmniejsza?

Zad.2
Nieskończony ciąg liczbowy \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = 2- \frac{1}{n}, n=1,2,3....\)
a.oblicz, ile wyrazów ciągu \((a_n)\) jest mniejszych od 1,975.
b. dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg \((a_2,a_7,x)\) jest arytmetyczny. Oblicz x

Zad.3
Dany jest trójkąt prostokątny o polu 54. Długość jego boków tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz obwód tego trójkąta.

zad.4
Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest równa 120, a suma pierwszych pięciu wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 65. Wyznacz wzór ogólny tego ciągu. Znajdź n takie, że liczby \((a_7,a_10,a_n)\)są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

[irena]

1.
\(a_5=2\\a_8=14\\a_8-a_5=3r=14-2=12\\r=4\\a_1=a_5-4r\\a_1=2-4\cdot4=2-16=-14\)

\(a_n=-14+4(n-1)=4n-18\)

\(S_n=\frac{-14+4n-18}{2}\cdot n=n(2n-16)=2n(n-8)=2n^2-16n\\n_w=\frac{16}{2\cdot2}=4\)

Dla n=4

[irena]

2.
a)
\(a_n=2-\frac{1}{n}\\2-\frac{1}{n}<1,975\\\frac{1}{n}>0,025\\\frac{1}{n}>\frac{1}{40}\\n<40\\n\le39\)

39 wyrazów

b)
\(a_2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\\a_7=2-\frac{1}{7}=\frac{13}{7}\\\frac{3}{2}+x=2\cdot\frac{13}{7}\\x=\frac{26}{7}-\frac{3}{2}\\x=\frac{52-21}{14}=\frac{31}{14}\)

[irena]

3.
a, a-1 - przyprostokątne
a+1 - przeciwprostokątna

\(\{a(a-r)=2\cdot54\\a^2+(a-r)^2=(a+r)^2\)

\(a^2+a^2-2ar+r^2=a^2+2ar+r^2\\a^2-4ar=0\\a(a-4r)=0\\a\neq0\\a=4r\\4r(4r-r)=108\\r\cdot3r=27\\r^2=9\\r=3\\a=12\\a-r=9\\a+r=15\)

\(Ob=12+9+15=36\)

[irena]

4.
\(a_{10}=a_1+9r\\\frac{a_1+a_1+9r}{2}\cdot10=120\\2a+9r=24\)

\(a_9=a_1+8r\\\frac{a_1+a_1+8r}{2}\cdot5=65\\a_1+4r=13\\a_1=13-4r\\2(13-4r)+9r=24\\26-8r+9r=24\\r=-2\\2a_1-18=24\\2a_1=42\\a_1=21\)

\(a_n=21-2(n-1)=23-2n\)

\(a_7=23-14=9\\a_{10}=23-20=3\\9a_n=3^2\\a_n=1\\23-2n=1\\2n=22\\n=11\)