Twierdzenie sinusów, cosinusów
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Twierdzenie sinusów, cosinusów
1. W trójkącie ABC dane są BC=4cm, kąt BAC=45, ACB=15. Oblicz długości pozostałych boków, promień okręgu opisanego na tym trójkącie i pole. Wskazówka \(sin15 = \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}\) \(cos15 = \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4}\)
2. Przekrój poprzeczny tortu jest trójkątem równoramiennym. Uzasadnij, że jeżeli pokroimy tort wzdłuż środkowych boków trójkąta, to każdy z gości otrzyma jedną z sześciu równych części.
3. Przekrój poprzeczny tortu jest trójkątem prostokątnym. Uzasadnij, że jeśli pokroimy tort wzdłuż środkowych boków trójkąta to każdy z gości otrzyma jedną z 6 równych części.
4. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego podzieliła przeciwprostokątną na odcinki o długości 2 i 8. Oblicz:
a) Pole trójkąta.
b) długości odcinków, na jakie dwusieczna kąta prostego podzieliła przeciwległy bok.
c) stosunek pola koła wpisanego w trójkąt do opisanego na trójkącie.
2. Przekrój poprzeczny tortu jest trójkątem równoramiennym. Uzasadnij, że jeżeli pokroimy tort wzdłuż środkowych boków trójkąta, to każdy z gości otrzyma jedną z sześciu równych części.
3. Przekrój poprzeczny tortu jest trójkątem prostokątnym. Uzasadnij, że jeśli pokroimy tort wzdłuż środkowych boków trójkąta to każdy z gości otrzyma jedną z 6 równych części.
4. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego podzieliła przeciwprostokątną na odcinki o długości 2 i 8. Oblicz:
a) Pole trójkąta.
b) długości odcinków, na jakie dwusieczna kąta prostego podzieliła przeciwległy bok.
c) stosunek pola koła wpisanego w trójkąt do opisanego na trójkącie.
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Zad.1
\(|AC|=b\\
|BC|=a=4 \;cm\\
|AB|=c\\ \angle A=45^o\\
\angle C=15^o\\
\angle B=180^o-(45+15)^o=120^o\)
Tw. sinusów:
\(\frac{a}{sinA}=2R\\
\frac{4}{sin45^o}=2R\\
\frac{4}{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }=2R\\
4 \sqrt{2}=2R\\
R=2 \sqrt{2}\)
\(\frac{c}{sinC}=2R\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;sinC=sin15^o= \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4}\;\;\;\;i\;\;\;2R=4 \sqrt{2}\\
c=2R\cdot sinC=4 \sqrt{2} \cdot \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4}= \sqrt{12}- \sqrt{4} =2 \sqrt{3}-2 =2( \sqrt{3}-1)\\
\frac{b}{sinB}=2R\;\;\;\;\;i\;\;\;sin120^o=sin60^o= \frac{ \sqrt{3} }{2}\;\;i\;\;2R=4 \sqrt{2}\\
b=2R \cdot sinB=4 \sqrt{2}\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}=2 \sqrt{6}\\
Pole\;=\; \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot sin120^o= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (2 \sqrt{2}-2) \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}=2(3- \sqrt{3})\)
\(|AC|=b\\
|BC|=a=4 \;cm\\
|AB|=c\\ \angle A=45^o\\
\angle C=15^o\\
\angle B=180^o-(45+15)^o=120^o\)
Tw. sinusów:
\(\frac{a}{sinA}=2R\\
\frac{4}{sin45^o}=2R\\
\frac{4}{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }=2R\\
4 \sqrt{2}=2R\\
R=2 \sqrt{2}\)
\(\frac{c}{sinC}=2R\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;sinC=sin15^o= \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4}\;\;\;\;i\;\;\;2R=4 \sqrt{2}\\
c=2R\cdot sinC=4 \sqrt{2} \cdot \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4}= \sqrt{12}- \sqrt{4} =2 \sqrt{3}-2 =2( \sqrt{3}-1)\\
\frac{b}{sinB}=2R\;\;\;\;\;i\;\;\;sin120^o=sin60^o= \frac{ \sqrt{3} }{2}\;\;i\;\;2R=4 \sqrt{2}\\
b=2R \cdot sinB=4 \sqrt{2}\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}=2 \sqrt{6}\\
Pole\;=\; \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot sin120^o= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (2 \sqrt{2}-2) \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}=2(3- \sqrt{3})\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Re: Twierdzenie sinusów, cosinusów
Hmm, to dziwne. Odpowiedzi mówią, ze AC=12, AB = \(6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}\), promień \(4 \sqrt{3}\), a pole \(36-12 \sqrt{3}\)
-
- Expert
- Posty: 4026
- Rejestracja: 01 kwie 2010, 15:35
- Lokalizacja: pod Lublinem - Niedrzwica
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1914 razy
- Płeć:
Re: Twierdzenie sinusów, cosinusów
4
a
\(p=2
q=8
h^2=pq
h^2=2*8=16
h=4
a=10
P=0.5ah=0.5*4*10=20\)
a
\(p=2
q=8
h^2=pq
h^2=2*8=16
h=4
a=10
P=0.5ah=0.5*4*10=20\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
George Polya
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
George Polya
-
- Expert
- Posty: 4026
- Rejestracja: 01 kwie 2010, 15:35
- Lokalizacja: pod Lublinem - Niedrzwica
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1914 razy
- Płeć:
Re: Twierdzenie sinusów, cosinusów
4
c)
\(b^2=h^2+q^2=4^2+8^2=80
b=4 \sqrt{5}
c^2=h^2+p^2=2^2+4^2=20
c=2 \sqrt{5}
r=0.5(c+b-a)=0.5(6 \sqrt{5} -10)=3 \sqrt{5}-5
R=0.5a=0.5*10=5
\frac{ \pi r^2}{ \pi R^2}= \frac{r^2}{R^2}=( \frac{r}{R}) ^2= (\frac{3 \sqrt{5}-5}{5})^2= \frac{45-30 \sqrt{5}+25 }{25} = \frac{14-6 \sqrt{5} }{5}\)
c)
\(b^2=h^2+q^2=4^2+8^2=80
b=4 \sqrt{5}
c^2=h^2+p^2=2^2+4^2=20
c=2 \sqrt{5}
r=0.5(c+b-a)=0.5(6 \sqrt{5} -10)=3 \sqrt{5}-5
R=0.5a=0.5*10=5
\frac{ \pi r^2}{ \pi R^2}= \frac{r^2}{R^2}=( \frac{r}{R}) ^2= (\frac{3 \sqrt{5}-5}{5})^2= \frac{45-30 \sqrt{5}+25 }{25} = \frac{14-6 \sqrt{5} }{5}\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
George Polya
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
George Polya
-
- Expert
- Posty: 4026
- Rejestracja: 01 kwie 2010, 15:35
- Lokalizacja: pod Lublinem - Niedrzwica
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1914 razy
- Płeć:
Re: Twierdzenie sinusów, cosinusów
4
b
\(sin \beta = \frac{h}{c} = \frac{4}{2 \sqrt{5} }= \frac{2}{ \sqrt{5} }
sin \alpha = \frac{h}{b} = \frac{4}{4 \sqrt{5} }= \frac{1}{ \sqrt{5} }\)
tw sinusow
\(\frac{sin \beta }{x} = \frac{sin45}{y}
\frac{2}{ \sqrt{5}x }= \frac{ \sqrt{2} }{2y}
4y= \sqrt{10}x\)
tw sinusow
\(\frac{sin \alpha }{x} = \frac{sin45}{z}
\frac{1}{ \sqrt{5}x }= \frac{ \sqrt{2} }{2z}
2z= \sqrt{10}x\)
\(2z=4y
z=2y
y+z=10
3y=10
y= \frac{10}{3}
z=2y= \frac{20}{3}\)
b
\(sin \beta = \frac{h}{c} = \frac{4}{2 \sqrt{5} }= \frac{2}{ \sqrt{5} }
sin \alpha = \frac{h}{b} = \frac{4}{4 \sqrt{5} }= \frac{1}{ \sqrt{5} }\)
tw sinusow
\(\frac{sin \beta }{x} = \frac{sin45}{y}
\frac{2}{ \sqrt{5}x }= \frac{ \sqrt{2} }{2y}
4y= \sqrt{10}x\)
tw sinusow
\(\frac{sin \alpha }{x} = \frac{sin45}{z}
\frac{1}{ \sqrt{5}x }= \frac{ \sqrt{2} }{2z}
2z= \sqrt{10}x\)
\(2z=4y
z=2y
y+z=10
3y=10
y= \frac{10}{3}
z=2y= \frac{20}{3}\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
George Polya
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
George Polya
Re: Twierdzenie sinusów, cosinusów
Jeśli bok leżący naprzeciw kąta 45 stopni ma długość 4, to bok leżący naprzeciw mniejszego kąta (15 stopni) musi być krótszy. Nie może więc być, że |BC|=4 i |AC|=12jekyll pisze:Hmm, to dziwne. Odpowiedzi mówią, ze AC=12[/tex]
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Re: Twierdzenie sinusów, cosinusów
Takie długości boków nie spełniają warunku,że suma każdych dwóch boków ma być większa od trzeciego boku.jekyll pisze:Hmm, to dziwne. Odpowiedzi mówią, ze AC=12, AB = \(6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}\), promień \(4 \sqrt{3}\), a pole \(36-12 \sqrt{3}\)
Możesz podać źródło ?
Liczę raz jeszcze,ale otrzymuję to samo co wczoraj.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Re: Twierdzenie sinusów, cosinusów
Źródła nie mogę podać, bo to po prostu jest taka zwykła kartka ze kserowanymi różnymi zadaniami.
Dzięki za pomoc!
Dzięki za pomoc!