1.Podstawą ostrosłupa jest trójkąt o bokach długości 6,5 i 5.Ściany boczne tego ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem \(45^{ \circ }\).Oblicz objętość tego ostrosłupa.
2.Podstawą ostrosłupa jest trójkąt o bokach długości 6,8, i 10 .Ściany boczne tego ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^{ \circ }\).Oblicz objętość tego ostrosłupa.
za rozwiązania dziękuje !
objętość ostrosłupa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
h- wysokość trójkąta podstawy opuszczona na podstawę trójkąta (bo to trójkąt równoramienny o podstawie 6 i ramionach 5)
\(h^2+3^2=5^2\\h^2=25-9=16\\h=4\)
Pole podstawy:
\(P_p=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\)
Wszystkie ściany boczne nachylone są do podstawy pod tym samym kątem, więc spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w trójkat podstawy
r- promień okręgu wpisanego w podstawę
p- połowa obwodu podstawy
\(p=\frac{6+2\cdot5}{2}=8\\P_p=pr\\8r=12\\r=\frac{3}{2}\)
H- wysokość ostrosłupa
\(\frac{H}{r}=tg45^0\\H=\frac{3}{2}\cdot1=\frac{3}{2}\)
\(V=\frac{1}{3}\cdot12\cdot\frac{3}{2}=6\)
h- wysokość trójkąta podstawy opuszczona na podstawę trójkąta (bo to trójkąt równoramienny o podstawie 6 i ramionach 5)
\(h^2+3^2=5^2\\h^2=25-9=16\\h=4\)
Pole podstawy:
\(P_p=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\)
Wszystkie ściany boczne nachylone są do podstawy pod tym samym kątem, więc spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w trójkat podstawy
r- promień okręgu wpisanego w podstawę
p- połowa obwodu podstawy
\(p=\frac{6+2\cdot5}{2}=8\\P_p=pr\\8r=12\\r=\frac{3}{2}\)
H- wysokość ostrosłupa
\(\frac{H}{r}=tg45^0\\H=\frac{3}{2}\cdot1=\frac{3}{2}\)
\(V=\frac{1}{3}\cdot12\cdot\frac{3}{2}=6\)
2.
Trójkąt o bokach 6, 8, 10 to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 i 8.
Pole podstawy
\(P_p=\frac{6\cdot8}{2}=24\)
Podobnie jak w pierwszym zadaniu- spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę.
r- promień okręgu wpisanego w podstawę
\(6+8=10+2r\\2r=14-10=4\\r=2\)
H- wysokość ostrosłupa
\(\frac{H}{r}=tg60^0\\\frac{H}{2}=\sqrt{3}\\H=2\sqrt{3}\)
\(V=\frac{1}{3}\cdot24\cdot2\sqrt{3}=16\sqrt{3}\)
Trójkąt o bokach 6, 8, 10 to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 i 8.
Pole podstawy
\(P_p=\frac{6\cdot8}{2}=24\)
Podobnie jak w pierwszym zadaniu- spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę.
r- promień okręgu wpisanego w podstawę
\(6+8=10+2r\\2r=14-10=4\\r=2\)
H- wysokość ostrosłupa
\(\frac{H}{r}=tg60^0\\\frac{H}{2}=\sqrt{3}\\H=2\sqrt{3}\)
\(V=\frac{1}{3}\cdot24\cdot2\sqrt{3}=16\sqrt{3}\)
w tym zad 1 jest błąd a mianowicie powinno być tak pierw liczymy tak jak irena pokazała wysokość podstawy
\(h^2+3^2=5^2\)
\(h^2+9=25\)
\(h^2=16\)
\(h=4\)
czyli pole podstawy to
Pp=\(\frac{6 \cdot 4}{2}\) = 12
jeśli wszystkie ścniany nachylone są do podstawy pod tym samym kontem to spodek wysokości jest srodkiem okręgu opisanego na trójkącie albo trojkącie wpisanym w okrąg
korzystając ze wzoru na promien trójkąta wpisanego w okrąg g
Pp=\(\frac{abc}{4R}\)
Pp=\(\frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{4R}\)
Pp obliczyliśmy już na początku więc podstawiamy
12= \(\frac{150}{4R}\)
R=3,125
wiedząc że krawędź ostrosłupa jest nachylona pod kątem 45stopni to kąt pomiędzy krawędzią a wysokością również będzie miał 45stopni zatem H=R
teraz do wzoru
V= \(\frac{1}{3} \cdot Pp \cdot H\)= \(\frac{12*3,125}{3}\) =12,5
mój wynik zgadza się z odpowiedziami w książce więc chyba jest dobry
\(h^2+3^2=5^2\)
\(h^2+9=25\)
\(h^2=16\)
\(h=4\)
czyli pole podstawy to
Pp=\(\frac{6 \cdot 4}{2}\) = 12
jeśli wszystkie ścniany nachylone są do podstawy pod tym samym kontem to spodek wysokości jest srodkiem okręgu opisanego na trójkącie albo trojkącie wpisanym w okrąg
korzystając ze wzoru na promien trójkąta wpisanego w okrąg g
Pp=\(\frac{abc}{4R}\)
Pp=\(\frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{4R}\)
Pp obliczyliśmy już na początku więc podstawiamy
12= \(\frac{150}{4R}\)
R=3,125
wiedząc że krawędź ostrosłupa jest nachylona pod kątem 45stopni to kąt pomiędzy krawędzią a wysokością również będzie miał 45stopni zatem H=R
teraz do wzoru
V= \(\frac{1}{3} \cdot Pp \cdot H\)= \(\frac{12*3,125}{3}\) =12,5
mój wynik zgadza się z odpowiedziami w książce więc chyba jest dobry