forum.zadania.info

Witam serdecznie.
Prosiłbym o rozwiązania następujących zadań.

Zbadaj ekstrema (punkty stacjonarne, macierz Hessego):

1. \(f(x,y)=x^2-6xy+y^3+3x+6y\)

2. \(f(x,y)=4xy+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

3. \(f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y\)

Z góry dziękuję za pomoc.
Pozdrawiam

mirapa1 pisze: ↑29 mar 2023, 12:37
Zbadaj ekstrema (punkty stacjonarne, macierz Hessego):

1. \(f(x,y)=x^2-6xy+y^3+3x+6y\)

\(\frac{\partial f}{\partial x}=2x-6y+3\\
\frac{\partial f}{\partial y}=-6x+3y^2+6\\
\begin{cases}2x-6y+3=0\\-6x+3y^2+6=0\end{cases}\\
A(\frac{27}{2},5)\\
B(\frac{3}{2},1)\)

\(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=2\\
\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}=-6\\
\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}=6y\)


dla \((\frac{27}{2},5)\)
\(\begin{vmatrix}2&-6\\-6&30 \end{vmatrix}=24>0\;\; \wedge\;\;\frac{\partial^2f}{\partial x^2}>0 \) - minimum


dla \((\frac{3}{2},1)\)
\(\begin{vmatrix}2&-6\\-6&30 \end{vmatrix}=-45<0 \) brak ekstremum

Funkcja f(x, y) = 4xy + x + y:
Aby znaleźć punkty stacjonarne, musimy obliczyć pochodne cząstkowe funkcji względem zmiennych x i y, a następnie ustawić je na zero i rozwiązać układ równań.
Pochodna cząstkowa funkcji f(x, y) względem x:
∂f/∂x = 4y + 1

Pochodna cząstkowa funkcji f(x, y) względem y:
∂f/∂y = 4x + 1

Ustawiając obie pochodne na zero, otrzymujemy układ równań:
4y + 1 = 0
4x + 1 = 0

Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy:
y = -1/4
x = -1/4

Punkty stacjonarne to (-1/4, -1/4).

Aby zbadać macierz Hessego, obliczamy drugie pochodne cząstkowe funkcji względem x i y.

Druga pochodna cząstkowa funkcji f(x, y) względem x:
∂²f/∂x² = 0

Druga pochodna cząstkowa funkcji f(x, y) względem y:
∂²f/∂y² = 0

Ponieważ obie drugie pochodne cząstkowe wynoszą zero, macierz Hessego jest macierzą zerową.