forum.zadania.info

W trójkącie ostrokątnym \(ABC\), w którym \(|\angle BAC|=60^\circ\), punkty \(M\) i \(N\) leżą odpowiednio na bokach \(AC\) i \(AB\), tak że \(CM=MN=NB\). \(O\) jest środkiem okręgu dopisanego trójkąta \(ANM\), stycznego do \(MN\). Oblicz miarę kąta \(BOC\)

Zrobiłem schludny rysunek i postawiłem hipotezę, że punkty \(B,\ O,\ C\) są wspólliniowe.

Niech w \(\Delta ANM:\ |AN|=m>0,\ |AM|=n>0\). Wtedy:

1. z tw. Carnota \(|MN|=\sqrt{m^2+n^2-mn}\)
2. z wzoru długość \(R\) promienia dopisanego spełnia
   \({1\over2}mn\cdot{\sqrt3\over2}={1\over2}R(m+n-\sqrt{m^2+n^2-mn})\iff R=\frac{(m+n+\sqrt{m^2+n^2-mn})\sqrt3}{6}\)
3. \(|AO|=2R=\frac{(m+n+\sqrt{m^2+n^2-mn})\sqrt3}{3}\)
4. w \(\Delta ABC: |AB|=c=m+\sqrt{m^2+n^2-mn},\ |AC|=b=n+\sqrt{m^2+n^2-mn}\)
5. długość \(d\) odcinka \(\overline{AP}\) dwusiecznej zawartego w \(\Delta ABC\) spełnia
   \({1\over 2}bc\cdot{\sqrt3\over2}={1\over 2}bd\cdot{1\over2}+{1\over 2}bd\cdot{1\over2}\iff d=\frac{bc\sqrt3}{b+c}\)
   zatem
   \(|AP|=\frac{(n+\sqrt{m^2+n^2-mn})(m+\sqrt{m^2+n^2-mn})\sqrt3}{m+n+2\sqrt{m^2+n^2-mn}}=\ldots=\frac{(m+n+\sqrt{m^2+n^2-mn})\sqrt3}{3}=|AO|\)

Ostatecznie \(P\equiv O\) i hipoteza jest prawdziwa. CKD

Pozdrawiam
PS.A niesympatyczne rachunki z "\(\ldots\)" sprawdź, proszę - ja to tylko potraktowałem "iloczyn wyrazów skrajnych równy iloczynowi wyrazów środkowych"

Z rysunkiem by było przyjaźniejsze - nie ogarnełam

To zrób schludny rysunek... Sama!

Pozdrawiam

Jerry pisze: ↑01 kwie 2023, 14:51 To zrób schludny rysunek... Sama!

Zrobiłam, zobaczyłam, ogarnęłam!

anilewe_MM pisze: ↑10 kwie 2023, 10:41 Zrobiłam, zobaczyłam, ogarnęłam!

Cieszymy się! Rób tak dalej!

Pozdrawiam