Równanie różniczkowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Maciek32
- Czasem tu bywam
- Posty: 87
- Rejestracja: 14 mar 2023, 17:08
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Równanie różniczkowe
Znajdź całkę szczególną równania \(xy+1=x^3+y'\) spełniającą warunek początkowy \(y(x_0)=m\), gdzie \(x_0\) jest większym pierwiastkiem równania: \(\log(9^x+1)=1-\log 3 + x\log 3.\)
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1617
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 422 razy
Re: Równanie różniczkowe
\( y^{'} - x\cdot y = -x^3 +1 \ \ (1)\)
Znajdujemy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:
\( y^{'} - x\cdot y = 0 \)
Jest to równanie o zmiennych dających się rozdzielić.
\( y' = x\cdot y \)
\( \frac{dy}{y} = xdx \)
\( \int \frac{dy}{y} = \int x dx \)
\( \ln|y| = \frac{1}{2} x^2 + C_{1} \)
\( y_{o} = Ce^{\frac{1}{2}x^2}, \ \ C = e^{C_{1}}. \)
Jest to rozwiązanie ogólne (całka ogólna) równania jednorodnego.
Całkę ogólną (rozwiązanie ogólne) równania niejednorodnego znajdziemy metodą uzmiennienia stałej \( C \)
\( y = C(x)\cdot e^{\frac{1}{2}x^2} \ \ (2)\)
\( y^{'}= C^{'}(x) \cdot e^{\frac{1}{2}x^2} + C(x)\cdot x \cdot e^{\frac{1}{2}x^2} \ \ (3) \)
Po wstawieniu równań \( (2), (3) \) do równania \( (1) \)
\( C^{'}(x) e^{\frac{1}{2}x^2} + C(x)\cdot x \cdot e^{\frac{1}{2}x^2}- C(x)\cdot x\cdot e^{\frac{1}{2}x^2} = -x^3 + 1.\)
\( C^{'}(x)\cdot e^{\frac{1}{2}x^2} = -x^3 +1 \ \ (4) \)
Mnożymy obie strony równania \( (4) \) przez funkcję \( e^{-\frac{1}{2}x^2} \)
\( C'(x) = (-x^3 +1) e^{-\frac{1}{2}x^2} \)
Stąd
\( C(x) = \int(-x^3 +1)e^{-\frac{1}{2}x^2} dx = \int -x^3e^{-\frac{1}{2}x^2}dx + \int e^{-\frac{1}{2}x^2} dx = I_{1} + I_{2}\)
Otrzymaliśmy sumę całek. Całkę \( I_{2} \) nie można wyrazić przez funkcje elementarne.
Całkę \( I_{2} = \int e^{-\frac{1}{2}x^2} dx \) możemy wyrazić przez funkcję błędu (Gaussa):
\( erf(x) =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-u^2}du \ \ -\infty< x < +\infty. \)
Podstawiamy
\( u:= \frac{x}{\sqrt{2}} \ \ du = \frac{dx}{\sqrt{2}}, \ \ dx = \sqrt{2} du, \)
\( \int e^{-\frac{1}{2}x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot erf\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) =\sqrt{\frac{\pi}{2}} erf\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + C_{1} \)
Całkę \( I_{1} = -\int x^3 e^{-\frac{1}{2}x^2}dx \) obliczamy dwukrotnym podstawieniem i jednokrotnym całkowaniem przez części
\( a:= x^2, \ \ b:= -\frac{a}{2} \), otrzymując:
\(-\int x^3 e^{-\frac{1}{2}x^2}dx = e^{-\frac{1}{2}x^2} \left(x^2 + 2\right) + C_{2}.\)
Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego
\( y = \sqrt{\frac{\pi}{2}} erf\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + e^{-\frac{1}{2}x^2} \left(x^2 + 2\right) + C, \ \ C= C_{1}+ C_{2} \)
Znajdujemy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:
\( y^{'} - x\cdot y = 0 \)
Jest to równanie o zmiennych dających się rozdzielić.
\( y' = x\cdot y \)
\( \frac{dy}{y} = xdx \)
\( \int \frac{dy}{y} = \int x dx \)
\( \ln|y| = \frac{1}{2} x^2 + C_{1} \)
\( y_{o} = Ce^{\frac{1}{2}x^2}, \ \ C = e^{C_{1}}. \)
Jest to rozwiązanie ogólne (całka ogólna) równania jednorodnego.
Całkę ogólną (rozwiązanie ogólne) równania niejednorodnego znajdziemy metodą uzmiennienia stałej \( C \)
\( y = C(x)\cdot e^{\frac{1}{2}x^2} \ \ (2)\)
\( y^{'}= C^{'}(x) \cdot e^{\frac{1}{2}x^2} + C(x)\cdot x \cdot e^{\frac{1}{2}x^2} \ \ (3) \)
Po wstawieniu równań \( (2), (3) \) do równania \( (1) \)
\( C^{'}(x) e^{\frac{1}{2}x^2} + C(x)\cdot x \cdot e^{\frac{1}{2}x^2}- C(x)\cdot x\cdot e^{\frac{1}{2}x^2} = -x^3 + 1.\)
\( C^{'}(x)\cdot e^{\frac{1}{2}x^2} = -x^3 +1 \ \ (4) \)
Mnożymy obie strony równania \( (4) \) przez funkcję \( e^{-\frac{1}{2}x^2} \)
\( C'(x) = (-x^3 +1) e^{-\frac{1}{2}x^2} \)
Stąd
\( C(x) = \int(-x^3 +1)e^{-\frac{1}{2}x^2} dx = \int -x^3e^{-\frac{1}{2}x^2}dx + \int e^{-\frac{1}{2}x^2} dx = I_{1} + I_{2}\)
Otrzymaliśmy sumę całek. Całkę \( I_{2} \) nie można wyrazić przez funkcje elementarne.
Całkę \( I_{2} = \int e^{-\frac{1}{2}x^2} dx \) możemy wyrazić przez funkcję błędu (Gaussa):
\( erf(x) =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-u^2}du \ \ -\infty< x < +\infty. \)
Podstawiamy
\( u:= \frac{x}{\sqrt{2}} \ \ du = \frac{dx}{\sqrt{2}}, \ \ dx = \sqrt{2} du, \)
\( \int e^{-\frac{1}{2}x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot erf\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) =\sqrt{\frac{\pi}{2}} erf\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + C_{1} \)
Całkę \( I_{1} = -\int x^3 e^{-\frac{1}{2}x^2}dx \) obliczamy dwukrotnym podstawieniem i jednokrotnym całkowaniem przez części
\( a:= x^2, \ \ b:= -\frac{a}{2} \), otrzymując:
\(-\int x^3 e^{-\frac{1}{2}x^2}dx = e^{-\frac{1}{2}x^2} \left(x^2 + 2\right) + C_{2}.\)
Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego
\( y = \sqrt{\frac{\pi}{2}} erf\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + e^{-\frac{1}{2}x^2} \left(x^2 + 2\right) + C, \ \ C= C_{1}+ C_{2} \)