Dowód dla szeregu harmonicznego rzędu p

[Maliss]

Witam, mam problem z dowodem dla szeregu harmoniczego rzędu \(p\). Za pomocą kryterium Kummera mam dowieść, że dany szereg jest rozbieżny dla \(0 < p \le 1\) ,a zbieżny dla \(p > 1\)
\( \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^p} \)

[janusz55]

Kryterium Ernsta E. Kummera (*)

\( \lim_{n\to \infty} \mathcal{K}_{n} = \lim_{n\to \infty} \left (b_{n}\cdot \frac{a_{n+1}}{a_{n}} - b_{n-1}\right)>0 \) - szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) zbieżny

Dla szeregu harmonicznego rzędu \( p \) granica ciągu Kummera:

\( \lim_{n\to \infty} \mathcal{K}_{n} = \lim_{n\to \infty} \left(n\frac{(n+1)^{p}}{n^{p}} -(n-1) \right) \)

\( 0<p< 1\)
\( \lim_{n\to \infty} \mathcal{K}_{n} = \lim_{n\to \infty} \left(n\cdot \frac{(n+1)^{p}}{n^{p}} -(n-1) \right) = \lim_{n\to \infty} n\left[\left(1 +\frac{1}{n}\right)^{p} -1\right] -1 = p -1 < 0 \) - szereg rozbieżny.

\( p>1 \)
\( \lim_{n\to \infty} \mathcal{K}_{n} = \lim_{n\to \infty} \left(n\frac{(n+1)^{p}}{n^{p}} -(n-1) \right) = \lim_{n\to \infty} n\left[\left(1 +\frac{1}{n}\right)^{p} -1\right] -1 = p-1 >0 \) - szereg zbieżny.

Na przkład dla \( p=\frac{1}{2} \)
\( \lim_{n\to \infty} \mathcal{K}_{n} = \lim_{n\to \infty} n \left(\frac{(n+1)^{\frac{1}{2}}}{n^{\frac{1}{2}}} -1 \right ) - 1 = \frac{1}{2}- 1=-\frac{1}{2}<0 \) - szereg rozbieżny.

Na przkład dla \( p=2 \)
\( \lim_{n\to \infty} \mathcal{K}_{n} = \lim_{n\to \infty} n \left(\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}} -1 \right) -1 = 2- 1=1>0\) - szereg zbieżny.

(*) Konrad Knopp. Szeregi nieskończone. PWN 1956.

[Maliss]

Czy jest szansa na wskazanie strony z podanej literatury ?

[janusz55]

Strona 343.
Dodatkowo: G.M Fichtenholz rachunek różniczkowy i całkowy, tom II . Wydanie siódme strona 239-240. PWN Warszawa 1978.