Całka iterowana

[agatakoss1]

Oblicz \[\int\int(x,y)dxdy\], jeżeli \[D=[1,e] x [0,1]\] i \[f(x,y)= \frac{e^{x}}{y} \].


Czy możemy ją policzyć w ten sposób:

\[ \int \int f(x,y)dxdyx= \int_{1}^{e}dx \int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{y}dy= \int_{1}^{e}dx(e^{x} \ln|y|)_0 ^{1}= \int_{1}^{e}(e \ln 1-0)dx= \int_{1}^{e}1dx=x|_1 ^{e}=e-1 \]

[Tulio]

Co się stało z \(e^x\) między trzecią a czwartą równością? Czemu utraciło wykładnik? Pamiętaj, że wstawiasz wartości dla \(y\), a nie dla obu.
Logarytm z wartości \(0\) (\(0^+\) co do zasady) nie jest \(0\).

Edit:
Też w przykładzie napisałaś \[\int\int(x,y)dxydy\] - brakuje \(f\) to jedno (można się domyślić), ale nie wiem czy tam faktycznie nie miało być \(dx y dy\) czy jednak \(dx dy\)

[Tulio]

Mój sposób:
\(\int\limits_0^1 dy \int\limits_1^e \frac{e^x}{y} dx = \int\limits_0^1 \left[ \frac{e^x}{y}\right]_1^e dy = \int\limits_0^1 \frac{e^e}{y} - \frac{e^1}{y} dy = \left( e^e - e\right) \int\limits_0^1 \frac{1}{y} dy = \left( e^e - e\right) \left[ \ln \left|y\right|\right]_0^1 = \left( e^e - e\right)\cdot \left( \ln1 - \ln0\right) =\)
\(= -\left( e^e - e\right)\cdot\ln0 = -\ln 0^{e^e - e} = -\ln 0 = \infty\)

[agatakoss1]

Ok,

więc tak, oczywiście całka dxdy i f. Mój błąd, przepraszam.

No faktycznie, podstawiam tylko za y, a nie za x. Wykładnik powinien zostać, ale w takim razie logarytm z 0 generuje problem. Co w takim wypadku?