Strona 1 z 1

Zbadać zbieżność szeregu

: 28 lut 2023, 20:01
autor: Zibi123
Bardzo proszę o pomoc, nie wiem jak się za to zabrać.
Zbadać zbieżność szeregu
\( \sum\limits_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{( \ln n) ^{ \ln n} } \)

Re: Zbadać zbieżność szeregu

: 28 lut 2023, 21:40
autor: Tulio
Niech \(a_n = \frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n} }\) wtedy \(\sqrt[n]{a_n} = \frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\frac{\ln n}{n}} } = \frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n^{\frac{1}{n}}}}\)
udowodnimy, że
\(\frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n^{\frac{1}{n}}}} < 1\) dla każdego \(n>e\)
Istotnie dla \(n=e\) nasz ułamek jest równy \(1\), zaś dla \(n>e\) mamy:
\(\frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n^{\frac{1}{n}}}} < 1 \iff \left( \ln n\right)^{\ln n^{\frac{1}{n}}} > 1 \iff \left( \ln n\right)^{\ln n^{\frac{1}{n}}} > 1^{\ln n^{\frac{1}{n}}} \iff * \iff \ln n > 1\)
co jest prawdziwe dla każdego \(n>e\)

Gwiazdką zaznaczyłem fakt, że musi jeszcze zachodzić warunek, że wykładnik jest większy od \(0\) (czyli, że nie powoduje zmniejszenia liczby większej od \(1\) do liczby mniejszej od \(1\)), ale to jest oczywiste gdyż jest to \(\ln \sqrt[n]{n} \) i pierwiastek dąży do jeden (z prawej), a więc logarytm dąży do zera (z prawej).

A zatem \(\sqrt[n]{a_n} < 1\) dla każdego \(n>e\), z kryterium Cauchy'ego więc mamy, że zbieżny musi być szereg
\(\sum\limits_{n=3}^{ \infty } \frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n} }\)
a zatem zbieżny jest też:
\(\sum\limits_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n} } = \frac{1}{ \left( \ln 2\right)^{\ln 2} } + \sum\limits_{n=3}^{ \infty } \frac{1}{ \left( \ln n\right)^{\ln n} }\)