geometria analityczna

[BarT123oks]

Z punktu \(D(-4;6)\) poprowadzono styczne do okręgu o środku \(S=(7;3)\) oraz promieniu długości \(\sqrt{13}\). Wyznacz współrzędne punktów styczności.

[eresh]

Z punktu D(-4;6) poprowadzono styczne do okręgu o środku S=(7;3) oraz promieniu długości pierw(13). Wyznacz współrzędne punktów styczności.

styczne:
\(y=ax+b\\
6=-4a+b\\
b=6+4a\\
y=ax+6+4a\\
ax-y+6+4a=0\)

odległość środka od stycznej jest równa długości promienia
\(\frac{|7a-3+6+4a|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{13}\\
|11a+3|=\sqrt{13(a^2+1)}\\
121a^2+66a+9=13a^2+13\\
108a^2+66a-4=0\\
a=-\frac{2}{3}\;\;\;\vee\;\;\;a=\frac{1}{18}\)

styczne:
\(y=-\frac{2}{3}x+\frac{10}{3}\\
y=\frac{1}{18}x+\frac{56}{9}\)

\(\begin{cases}y=-\frac{2}{3}x+\frac{10}{3}\\(x-7)^2+(y-3)^2=13\end{cases}\\
A(5,0)\)

\(\begin{cases}y=\frac{1}{18}x+\frac{56}{9}\\ (x-7)^2+(y-3)^2=13\end{cases}\\
B(\frac{34}{5},\frac{33}{5})\)

[Jerry]

Albo:
Ponieważ \(|DS|=\sqrt{130}\), to długość odcinków stycznych jest równa \(\sqrt{130-13}=3\sqrt{13}\) i punkty styczności są rozwiązaniem układu równań:
\(\begin{cases}(x+4)^2+(y-6)^2=117\\(x-7)^2+(y-3)^2=13\end{cases}\)

Pozdrawiam