Udowodnić, że jeżeli \(y \le \frac{2}{3}x\), to \(\forall_{x,y\in\rr} \) prawdziwa jest nierówność:
\(y^{3}\le \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2})\)
Próbowałem przekształcić to jakoś równoważnie, ale bez pozytywnego skutku
Dowód nierówności
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 82
- Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:36
- Podziękowania: 26 razy
- Płeć:
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Dowód nierówności
Dość kiepsko sformułowałeś zadanie. Jeśli zachodzi jakiś warunek, to już nie dla wszystkich \(x,y\) zachodzi nierówność. Inaczej: dla wszystkich \(x,y\), jeśli spełniony jest warunek..., to zachodzi nierówność... . Dokładniej:
Udowodnić, że dla wszystkich \(x,y\in\rr\) spełniających warunek \(y \leqslant \frac{2}{3}x\) zachodzi nierówność \[y^{3}\leqslant \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2}).\]
Zauważmy, że po przeniesieniu wszystkiego na prawo mamy do udowodnienia nierówność\[8x^3-20x^2y+14xy^2-3y^3\geqslant 0.\]Traktując lewą stronę jako wielomian zmiennej \(x\) z parametrem \(y\) zauważamy, że \(x=\frac{3}{2}y\) jest jego pierwiastkiem, więc ten wielomian dzieli się przez \(x-\frac{3}{2}y\), a co za tym idzie, także przez \(2x-3y\geqslant 0\) (na mocy założenia). Po wykonaniu dzielenia dostaniemy równoważnie\[(4x^2-4xy+y^2)(2x-3y)=(2x-y)^2(2x-3y)\geqslant 0,\]a ta nierówność jest prawdziwa właśnie ze względu na założenie i drugi czynnik występujący w kwadracie.
Można wobec tego zauważyć, że jeśli \(y\ne 2x\) oraz \(y>\frac{2}{3}x\), to zachodzi nierówność przeciwna:\[y^{3}> \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2}).\]
Udowodnić, że dla wszystkich \(x,y\in\rr\) spełniających warunek \(y \leqslant \frac{2}{3}x\) zachodzi nierówność \[y^{3}\leqslant \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2}).\]
Zauważmy, że po przeniesieniu wszystkiego na prawo mamy do udowodnienia nierówność\[8x^3-20x^2y+14xy^2-3y^3\geqslant 0.\]Traktując lewą stronę jako wielomian zmiennej \(x\) z parametrem \(y\) zauważamy, że \(x=\frac{3}{2}y\) jest jego pierwiastkiem, więc ten wielomian dzieli się przez \(x-\frac{3}{2}y\), a co za tym idzie, także przez \(2x-3y\geqslant 0\) (na mocy założenia). Po wykonaniu dzielenia dostaniemy równoważnie\[(4x^2-4xy+y^2)(2x-3y)=(2x-y)^2(2x-3y)\geqslant 0,\]a ta nierówność jest prawdziwa właśnie ze względu na założenie i drugi czynnik występujący w kwadracie.
Można wobec tego zauważyć, że jeśli \(y\ne 2x\) oraz \(y>\frac{2}{3}x\), to zachodzi nierówność przeciwna:\[y^{3}> \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2}).\]
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 82
- Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:36
- Podziękowania: 26 razy
- Płeć:
Re: Dowód nierówności
Treść taką niestety dostałem...szw1710 pisze: ↑18 lut 2023, 17:33 Dość kiepsko sformułowałeś zadanie. Jeśli zachodzi jakiś warunek, to już nie dla wszystkich \(x,y\) zachodzi nierówność. Inaczej: dla wszystkich \(x,y\), jeśli spełniony jest warunek..., to zachodzi nierówność... . Dokładniej:
Udowodnić, że dla wszystkich \(x,y\in\rr\) spełniających warunek \(y \leqslant \frac{2}{3}x\) zachodzi nierówność \[y^{3}\leqslant \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2}).\]
Zauważmy, że po przeniesieniu wszystkiego na prawo mamy do udowodnienia nierówność\[8x^3-20x^2y+14xy^2-3y^3\geqslant 0.\]Traktując lewą stronę jako wielomian zmiennej \(x\) z parametrem \(y\) zauważamy, że \(x=\frac{3}{2}y\) jest jego pierwiastkiem, więc ten wielomian dzieli się przez \(x-\frac{3}{2}y\), a co za tym idzie, także przez \(2x-3y\geqslant 0\) (na mocy założenia). Po wykonaniu dzielenia dostaniemy równoważnie\[(4x^2-4xy+y^2)(2x-3y)=(2x-y)^2(2x-3y)\geqslant 0,\]a ta nierówność jest prawdziwa właśnie ze względu na założenie i drugi czynnik występujący w kwadracie.
Można wobec tego zauważyć, że jeśli \(y\ne 2x\) oraz \(y>\frac{2}{3}x\), to zachodzi nierówność przeciwna:\[y^{3}> \frac{2}{3}(4x^{3}-10x^{2}y+7xy^{2}).\]
W sumie dość nietrudne zadanie jeśli się zauważy ten rozkład wielomianu na czynniki
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Dowód nierówności
Trudne jest takie zadanie, którego nie potrafisz rozwiązać. Dlatego było ono dla Ciebie trudne, gdyż inaczej nie szukałbyś tu pomocy. Można natomiast powiedzieć, że zadanie posiada nietrudne rozwiązanie. Życzę dobrej niedzieli.xenoneq_o0 pisze: ↑18 lut 2023, 18:37 W sumie dość nietrudne zadanie jeśli się zauważy ten rozkład wielomianu na czynniki
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 82
- Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:36
- Podziękowania: 26 razy
- Płeć:
Re: Dowód nierówności
Wiadomo jestem mądry po fakcie, ale dokładnie to miałem na myśli co mówisz, że to zadanie posiada nietrudne rozwiązanie. Również dobrej niedzieliszw1710 pisze: ↑18 lut 2023, 19:44Trudne jest takie zadanie, którego nie potrafisz rozwiązać. Dlatego było ono dla Ciebie trudne, gdyż inaczej nie szukałbyś tu pomocy. Można natomiast powiedzieć, że zadanie posiada nietrudne rozwiązanie. Życzę dobrej niedzieli.xenoneq_o0 pisze: ↑18 lut 2023, 18:37 W sumie dość nietrudne zadanie jeśli się zauważy ten rozkład wielomianu na czynniki