Oblicz całkę.

[nijak]

Czy ma ktoś pomysł jak rozwiązać tą całkę?
\[ \int_{0}^{ \infty } \frac{ \sin ^3x}{x^3}dx \]

[grdv10]

Jako nieoznaczona jest to całka nieelementarna. Do jej obliczenia potrzeba najpierw udowodnić zbieżność. Łatwo zauważyć, że\[\left|\frac{\sin x}{x}\right|^3\leqslant\begin{cases}1&\text{dla }0<x<1,\\[1ex]\dfrac{1}{x^3}&\text{dla }x\geqslant 1.\end{cases}\]Całka funkcji po prawej stronie jest zbieżna, więc nasza całka jest bezwzględnie zbieżna. Samo jej obliczenie polega na rozdzieleniu całki na przedział \((0,1]\) (całka niewłaściwa, chyba, że dookreślimy w zerze naszą funkcję jako 1, to możemy całkować zwyczajnie) oraz \([1,\infty).\) Obliczenie może być trudne. SageMath pokazuje, że zaangażowane są funkcje gamma i sinus całkowy.\[ \int_{0}^{ 1 } \frac{ \sin ^3x}{x^3}dx= \frac{3}{8} \, \cos\left(3\right) - \frac{3}{8} \, \cos\left(1\right) + \frac{1}{8} \, \sin\left(3\right) - \frac{3}{8} \, \sin\left(1\right) + \frac{9}{8} \, \operatorname{Si}\left(3\right) - \frac{3}{8} \, \operatorname{Si}\left(1\right).
\]Natomiast\[\int_{1}^{ \infty } \frac{ \sin ^3x}{x^3}dx=\frac{9}{8} i \, \Gamma\left(-2, 3 i\right) - \frac{3}{8} i \, \Gamma\left(-2, i\right) + \frac{3}{8} i \, \Gamma\left(-2, -i\right) - \frac{9}{8} i \, \Gamma\left(-2, -3 i\right).
\]Co ciekawe, SageMath podaje\[\int_{0}^{ \infty } \frac{ \sin ^3x}{x^3}dx=\frac{3}{8}\pi.\]Ale czym jest funkcja gamma dwóch zmiennych, nie wiem. Jacyś ludzie rozszerzali funkcję gamma (klasyczną) na przypadek dwóch zmiennych.

[nijak]

Ja obliczyłem to w ten sposób:
\[ \frac{d}{dt} \left(I(t) \int_{0}^{ \infty } \frac{ \sin^3(tx)}{x^3} dx \right ), \ t \ge 0\]
\[I'(t)= \int_{0}^{\infty} \frac{3\sin^2(tx)cos(tx)x}{x^3} dx\ =\]
\[ =\ \int_{0}^{\infty} \frac{3(1-\cos^2(tx))\cos(tx)}{x^2}= \]
\[=3 \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(tx)-\cos^3(tx)}{x^2} dx =\]
\[=3\int_{0}^{\infty} \frac{\cos(tx)- (\frac{3}{4} \cos(tx)+ \frac{1}{4} \cos(3tx)}{x^2} dx =\]
\[ \frac{3}{4}\int_{0}^{\infty} \frac{\cos(tx)-\cos(3tx)}{x^2} dx \]
\[I''(t)=\frac{3}{4}\int_{0}^{\infty} \frac{-\sin(tx) \cdot x +\sin (3tx) \cdot 3x}{x^2} dx=\]
\[=- \frac{3}{4} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(tx)}{x}dx+ \frac{9}{4}\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(tx)}{x}dx \]
\[= - \frac{3}{4} \cdot \frac{\pi}{2}+ \frac{9}{4}\cdot \frac{\pi}{2}= \frac{3\pi}{4} \]
\[I'(t)=\int \frac{3\pi}{4} dt=- \frac{3\pi}{4}t+C_1\]
niech \(t=0, 0=0+C_1 \So 0=C_1\)
Więc: \[ I(t)=\int \frac{3\pi}{t}dt= \frac{3\pi}{8}t^2+C_2 \]
Tutaj niech \(t=0, 0+C_2 \So 0=C_2\)
Zatem \( \int_{0}^{ \infty } \frac{ \sin^3(tx)}{x^3} dx= \frac{3\pi}{8} t^2\) czyli dla \(t=1\) otrzymujemy funkcję źródłową i wynik jest równy \( \frac{3\pi}{8}\).

[Tulio]

Zgubiłem się pod koniec... Po pierwsze dlaczego

Więc: \[ I(t)=\int \frac{3\pi}{t}dt\]

Skoro \(I' \left(t \right)=-\frac{3\pi}{4}t \)
to nie powinno być:
\(I\left(t \right)= \int-\frac{3\pi}{4}t dt\)
?

a po drugie czemu

\(\int \frac{3\pi}{t}dt = \frac{3\pi}{8}t^2+C_2\)

a nie
\(\int \frac{3\pi}{t}dt = 3\pi \cdot \ln t + C_2\)
?

[nijak]

Powinno być:
\[I'(t)=\int \frac{3\pi}{4} dt= \frac{3\pi}{4}t+C_1 \]
\[I(t)= \int \frac{3\pi}{4}t dt= \frac{3\pi}{8}t^2+C_2 \]
Był to błąd w kodzie.

[Tulio]

Niestety jeszcze jeden bląd znalazłem. W drugiej pochodnej:

\[I''(t)=\frac{3}{4}\int_{0}^{\infty} \frac{-\sin(tx) \cdot x +\sin (3tx) \cdot 3x}{x^2} dx=\]
\[=- \frac{3}{4} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(tx)}{x}dx+ \frac{9}{4}\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(tx)}{x}dx \]

zniknęło Ci \(3\) w argumencie \(\sin \left( 3tx\right) \) Nie zmienia to wyniku.

[nijak]

Wszystko jest dobrze. Nie wiem o jakiej trójce mówisz.

[Tulio]

Wszystko jest dobrze. Nie wiem o jakiej trójce mówisz.

No o tej: