Równanie różniczkowe drugiego rzędu.

[Taotao2]

Rozwiaz równanie:
\(y^{''}=-y^{'} \tg x+ \sin 2x\)

[nijak]

Stosując podstawienie:

• \(y^{'}=t(x)\) i \(y^{''}= \frac{dt}{dx} \)

• Otrzumujemy takie równanie: \( \frac{dt}{dx} +t \tg x=\sin2x\)

\(1^ \circ\) Musimy przyjąć to za równanie jednorodne przyrównując do zera czyli:
\( \frac{dt}{dx}+u\tg x=0 \So \frac{dt}{dx}=-u \tg x / \cdot dx \)

• \(du=-u \tg x dx / :t \So \int \frac{dt}{t} =\int -\tg xdx= \int -\frac{ \sin x}{cos x} dx \)

Całka z \( \frac{dt}{t}= \ln |t| \), natomiast całka z \(-\frac{ \sin x}{cos x}\) jest równa \(\ln |\cos x|+ C\) zamienię stałą \( C \) na \(\ln C_1 \) aby pozbyć się dodawania po zamianie \(\ln |\cos x|+ C= \ln|C_1 \cos x|\).
Więc \(u=C_1 \cos x\).

\(2^ \circ \) Musimy teraz uzmiennić naszą stałą:
\(u=C_1(x) \cos x \) chcemy podstawic to do równania po przekształceniu, ale jeszcze \( \frac{dt}{dx} \) wyjdzie, że \( \frac{dt}{dx}= C_1^{'}(x)= \frac{\sin 2x}{\cos x} \).

\(C_1(x)=\int 2\sin x dx=-2 \cos x+C_2\)

\(t=-2\cos^2x+C_2\cos x\)

\(y^{'}=-2\cos^2x+C_2\cos x\), \(y=\int (C_2 \cos x -2 \cos^2x)dx\) tę całkę oblicz sam i otrzymasz wynik.

Spoiler

\(y=C_2\sin x - \frac{1}{2} \sin 2x-x +C_3 \)

[nijak]

W pierwszym kroku pomyliły mi się oznaczenia. Zazwyczaj używa się w takich podstawieniach \(u\) ale ja użyłem \(t\) i się z przyzwyczajenia ,,rąbnąłem". Ale chyba wiesz o co chodzi.

[Taotao2]

Wszystko rozumiem. Dziękuję.