statystyka

[osa150]

Witam,
proszę o podpowiedź:
1. Mamy niezależne zmienne losowe X i Y o rozkładach X`N(4,7), Y`(3,2). Oblicz prawdopodobieństwo:
\(P(15<2X-3Y<21)\)

[grdv10]

Mamy \(2X\sim N(8,14)\) oraz \(3Y\sim N(9,6)\). Jeśli podziałamy na średnich, to \(2\mu_X-3\mu_Y=-1\), a mamy w zadaniu przedział \((15,21)\). Prawdopodobieństwo będzie na poziomie dość bliskim zeru. Natomiast \(2\mu_X+3\mu_Y=17\) i to bardzo pasuje na \(15<2X+3Y<21\). Czy zatem w zadaniu nie ma błędu drukarskiego? W obu przypadkach mamy rozkłady normalne z odchyleniem standardowym \(\sqrt{(2\sigma_X)^2+(3\sigma_y)^2}=\sqrt{64+81}=\sqrt{145}\). Średnie to \(-1\) dla \(2X-3Y\) oraz \(17\) dla \(2X+3Y\).

Wersja \(2X-3Y\):

Kod: Zaznacz cały

> pnorm(21,-1,sqrt(145))-pnorm(15,-1,sqrt(145))
[1] 0.05811907

Wersja \(2X+3Y\):

Kod: Zaznacz cały

> pnorm(21,17,sqrt(145))-pnorm(15,17,sqrt(145))
[1] 0.1960814

Obliczenia zrobiłem w programie R.

[osa150]

Mamy \(2X\sim N(8,14)\) oraz \(3Y\sim N(9,6)\). Jeśli podziałamy na średnich, to \(2\mu_X-3\mu_Y=-1\), a mamy w zadaniu przedział \((15,21)\). Prawdopodobieństwo będzie na poziomie dość bliskim zeru. Natomiast \(2\mu_X+3\mu_Y=17\) i to bardzo pasuje na \(15<2X+3Y<21\). Czy zatem w zadaniu nie ma błędu drukarskiego? W obu przypadkach mamy rozkłady normalne z odchyleniem standardowym \(\sqrt{(2\sigma_X)^2+(3\sigma_y)^2}=\sqrt{64+81}=\sqrt{145}\). Średnie to \(-1\) dla \(2X-3Y\) oraz \(17\) dla \(2X+3Y\).

Wersja \(2X-3Y\):

Kod: Zaznacz cały

> pnorm(21,-1,sqrt(145))-pnorm(15,-1,sqrt(145))
[1] 0.05811907

Wersja \(2X+3Y\):

Kod: Zaznacz cały

> pnorm(21,17,sqrt(145))-pnorm(15,17,sqrt(145))
[1] 0.1960814

Obliczenia zrobiłem w programie R.

Będę wdzięczna za informację skąd się wzięło: \((\sqrt{(2\sigma_X)^2+(3\sigma_y)^2}=\sqrt{64+81}=\sqrt{145}\)

[grdv10]

Jest takie twierdzenie, że jeśli \(X_1\sim N(m_1,\sigma_1)\) oraz \(X_2\sim N(m_2,\sigma_2)\) są niezależne, to \(X_1\pm X_2\sim N(m_1\pm m_2,\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2})\). Ponadto \(E(\alpha X)=\alpha EX\) oraz \(D^2(\alpha X)=\alpha^2D^2X\), a co za tym idzie, \(D(\alpha X)=|\alpha|D(X)\).

[osa150]

Jest takie twierdzenie, że jeśli \(X_1\sim N(m_1,\sigma_1)\) oraz \(X_2\sim N(m_2,\sigma_2)\) są niezależne, to \(X_1\pm X_2\sim N(m_1\pm m_2,\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2})\). Ponadto \(E(\alpha X)=\alpha EX\) oraz \(D^2(\alpha X)=\alpha^2D^2X\), a co za tym idzie, \(D(\alpha X)=|\alpha|D(X)\).

Czy w takim razie nie powinno być \(\sqrt{7^2+2^2}\) ?

[grdv10]

A skąd te liczby 7 i 2?

[osa150]

X`N(4,7), Y`(3,2) jako sigma przyjęłam 7 i 2

[grdv10]

No tak. Ten wątek już trochę trwa i zapomniałem. Po prostu przemnożyłem te zmienne przez podane liczby. Wartość oczekiwana przemnaża się przez odpowiednią liczbę, to samo z odchyleniem standardowym. Proszę spojrzeć na drugą część mojej poprzedniej odpowiedzi. Dlatego zastosowałem takie liczby, a nie inne.

[lolitas]

X`N(4,7), Y`(3,2) jako sigma przyjęłam 7 i 2

Dałem też tę samą odpowiedź, ale mój przyjaciel powiedział, że to źle.

[dkiose]

A skąd te liczby 7 i 2?

też się nad tym zastanawiam. hurdle