Strona 1 z 1
Trójkąt równoboczny
: 05 lut 2023, 12:12
autor: BarT123oks
Wewnątrz kwadratu \(ABCD\) obrano taki punkt \(P\), że trójkąt \(ABP\) jest równoboczny. Znajdź długości boku kwadratu, wiedząc, że odległość punktu \(P\) od wierzchołka \(C\) jest równa \(\sqrt{8+4\sqrt{3}}\). Wynik przedstaw w postaci \(m+n\sqrt{3}\), gdzie m,n należą do Z
Re: Trójkąt równoboczny
: 05 lut 2023, 13:33
autor: eresh
BarT123oks pisze: ↑05 lut 2023, 12:12
Wewnątrz kwadratu
\(ABCD\) obrano taki punkt
\(P\), że trójkąt
\(ABP\) jest równoboczny. Znajdź długości boku kwadratu, wiedząc, że odległość punktu
\(P\) od wierzchołka
\(C\) jest równa
\(\sqrt{8+4\sqrt{3}}\). Wynik przedstaw w postaci
\(m+n\sqrt{3}\), gdzie m,n należą do Z
\(|\angle ABP|=60^{\circ}\\
|\angle PBC|=30^{\circ}\\
|PC|^2=|BP|^2+||BC|^2-2\cdot |PB||BC|\cos 30^{\circ}\\
8+4\sqrt{3}=2a^2-\sqrt{3}a^2\\
4(2+\sqrt{3})=a^2(2-\sqrt{3})\\
a^2=\frac{4(2+\sqrt{3})}{2-\sqrt{3}}\\
a^2=4(2+\sqrt{3})^2\\
a=2(2+\sqrt{3}\\
a=4+2\sqrt{3}\)