forum.zadania.info

Punkt \(S = (8,7)\) jest środkiem okręgu \(O\). Przez punkt \(M = (-5,-2)\) poprowadzono sieczną \(k\), której odległość od punktu \(S\) jest równa \(5\) oraz styczną \(l\) do okręgu \(O\). Sieczna \(k\) przecina okrąg \(O\) w punktach \(B\) i \(C\). Punkt \(A\) jest punktem wspólnym stycznej \(l\) i okręgu \(O\), a odcinek \(AC\) jest średnicą tego okręgu. Wyznacz równanie okręgu \(O\). Zapisz obliczenia.

Zrób poglądowy rysunek, niech \(r\in(5; 5\sqrt{10})\) będzie promieniem okręgu, \(N\) rzutem prostokątnym punktu \(S\) na prostą \(k\). Wtedy

1. \(|MS|=5\sqrt{10}\)
2. Z tw. Pitagorasa
   • z \(\Delta MNS: |MN|=15\)
   • z \(\Delta MSA: |AM|=\sqrt{250-r^2}\)
   • z \(\Delta NCS: |NC|=\sqrt{r^2-25}\)
   • z \(\Delta MCA: \sqrt{250-r^2}^2+(2r)^2=(15+\sqrt{r^2-25})^2\)

Pozostaje rozwiązać ostatnie równanie (np. stosując podstawienie: \(\sqrt{r^2-25}=x>0\)) i sformułować odpowiedź.

Pozdrawiam

PS.

\(r=5\sqrt2\vee r=5\sqrt5\),
skąd równania okręgów:
\((x-8)^2+(y-7)^2=50\vee (x-8)^2+(y-7)^2=125\)

Mógłbyś to jakoś przedstawić na rysunku? ponieważ nie widzę tego szczerze

presidente pisze: ↑27 lut 2023, 18:53 Mógłbyś to jakoś przedstawić na rysunku? ponieważ nie widzę tego szczerze

Narysowanie okręgu, siecznej i stycznej oraz wprowadzenie oznaczeń przerasta Twoje możliwości? Nie żartuj!

Pozdrawiam

Jerry pisze: ↑27 lut 2023, 21:31

presidente pisze: ↑27 lut 2023, 18:53 Mógłbyś to jakoś przedstawić na rysunku? ponieważ nie widzę tego szczerze

Narysowanie okręgu, siecznej i stycznej oraz wprowadzenie oznaczeń przerasta Twoje możliwości? Nie żartuj!

Pozdrawiam

Żeby wyznaczyć chociażby \(|MN|\) z twierdzenia Pitagorasa to musisz chyba znać współrzędne \(N\), jakie on ma w takim razie ?

Zrobiłeś rysunek?

presidente pisze: ↑27 lut 2023, 22:18 Żeby wyznaczyć chociażby \(|MN|\) ...

wystarczy znać \(|MS|=5\sqrt{10}\) (obliczyłem) i \(|NS|=5\) (podany treścią zadania) oraz \( |MN|=\sqrt{|MS|^2-|NS|^2}\)

Pozdrawiam

Jerry pisze: ↑27 lut 2023, 22:51 Zrobiłeś rysunek?

presidente pisze: ↑27 lut 2023, 22:18 Żeby wyznaczyć chociażby \(|MN|\) ...

wystarczy znać \(|MS|=5\sqrt{10}\) (obliczyłem) i \(|NS|=5\) (podany treścią zadania) oraz \( |MN|=\sqrt{|MS|^2-|NS|^2}\)

Pozdrawiam

Już widzę dziękuję