Rzut ortogononalny, ortonormalny i macierz rzutu na płaszczyznę

[Megu]

Dzień Dobry,
przybywam z takim o to zadankiem, próbowałem je sam rozwiązywać, gdyż pamiętam z wykładów, że liczyło się to dosłownie podstawiając do wzoru, ale za każdym razem wychodzą mi bardzo nie satysfakcjonujące wyniki. (i skrajnie różne )
(a) Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora \(b = (1, 2, 3)\) na płaszczyznę \(\pi\) zawierający wektory \(a_1 = (2, 2, −1)\) i \(a_2 = (2, −1, 2)\).
(b) Metodą Grama-Schmidta otrzymać ortonormalny układ wektorów \((q_1, q_2, q_3)\) z układu \((a_1, a_2, b)\).
(c) Znaleźć macierz \(P\) rzutu na płaszczyznę \(\pi\).

[janusz55]

(a)
Wektory:

\(\vec{a}_{1}, \ \ \vec{a}_{2} \) - rozpinają płaszczyznę \( \pi: \)

\( \pi = lin \{ \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}\} = \{\vec{v}: \vec{v} = \alpha\cdot \vec{a}_{1} + \beta\cdot\vec{a}_{2}, \ \ \alpha, \ \ \beta \in R\} \ \(0) \)

\( \vec{b}-\vec{v}\perp \vec{a}_{1}\ \ (1) \)

\( \vec{b}-\vec{v} \perp \vec{a}_{2} \ \ (2) \)

Z warunków \( (1), (2) \) wyznaczamy wartości współczynników \( \alpha, \ \ \beta.\)

\( \vec{b}- \vec{v} = (1 -2\alpha -2\beta, 2 -2\alpha + \beta, 3+\alpha -2\beta).\)

Z iloczynów skalarnych przyrównanych do zera:

\( (1 -2\alpha -2\beta, 2 -2\alpha + \beta, 3+\alpha -2\beta)\cdot ( 2, 2, -1) = 2 -4\alpha -4\beta +4-4\alpha +2\beta -3 -\alpha +2\beta = 0,\)

\( -9\alpha +3 = 0, \ \ \alpha = \frac{1}{3}.\)

\( (1 -2\alpha -2\beta, 2 -2\alpha + \beta, 3+\alpha -2\beta)\cdot ( 2, 2, -1) = 2-4\alpha -4\beta-2+2\alpha-\beta+6+2\alpha -4\beta = 0.\)

\( -9\beta + 6 = 0, \ \ \beta =\frac{6}{9} = \frac{2}{3}.\)

Stąd i z \( (0) \)

\( \vec{v} = \frac{1}{3}\cdot (2, 2,-1) + \frac{2}{3} \cdot (2,-1,2) = \left( 2\cdot \frac{1}{3}+2\cdot \frac{2}{3}, 2\cdot \frac{1}{3}-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}+\frac{4}{3}\right) = (2, 0, 1).\)


(b)

W każdej \( n-\) wymiarowej przestrzeni euklidesowej istnieje baza ortogonalna.

Powyższe stwierdzenie wykorzystamy do znalezienia bazy ortogonalnej algorytmem Grama-Schmidta.

Krok 1.
Pierwszy wektor \( \vec{a}_{1} \) pozostawiamy bez zmian, kładąc

\( \vec{e}_{1} = \vec{a}_{1} = (2,2,-1).\)

Krok 2.
Wektor \( \vec{a}_{2} = (2,-1,2) \) jest ortogonalny do wektora \( \vec{a}_{1} \), bo ich iloczyn skalarny

\( \vec{a}_{1}\cdot \vec{a}_{2} = (2,2,-1)\cdot (2, -1, 2) = 2\cdot 2 +2\cdot(-1) + (-1)\cdot 2 = 0.\)

Przyjmujemy więc, że \( \vec{e}_{1} = \vec{a}_{2}. \)

Krok 3 .
Wektor \( \vec{e}_{3} \) tworzymy z wektora \( \vec{b} = (1,2,3) \) przez odjęcie od \( \vec{b} \) składowych równoległych do \( \vec{e}_{1}, \ \ \vec{e}_{2} \)

\( \vec{e}_{3} = (1,2,3) - \frac{\langle (1,2,3), (2,2,-1)\rangle}{\langle (2,2,-1), (2,2,-1)\rangle}(2,2,-1) - \frac{\langle (1,2,3), (2,-1,2)\rangle}{\langle (2,-1,2), (2,-1,2)\rangle} (2,-1,2) = (1,2,3) - \frac{1}{3}\cdot (2, 2,-1)-\frac{2}{3}\cdot (2-1, 2) = \)
\( = (-1,2, 2)\)

Bazę ortogonalną przestrzeni euklidesowej \( (E^{3}, \langle \cdot \rangle) \) generowana przez wektory \( (\vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{b}) \) tworzy układ wektorów \( [(2,2,-1), (2,-1,2), (-1,2,2)].\)

Bazę ortogonalną można przekształcić w bazę ortonormalną \( [\vec{q}_{1}, \vec{q}_{2}, \vec{q}_{3}] \) poprzez unormowanie wektorów \( [ \vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3} ] \)

Otrzymujemy układ ortonormalny wektorów. \( [\vec{q}_{1}, \vec{q}_{2}, \vec{q}_{3}] = \left[ \frac{1}{9}(2,2,-1), \frac{1}{9}(2,-1,2), \frac{1}{9}(-1,2,2) \right] \)

(c)

Macierz rzutu na płaszczyznę \( \pi, \ \ \mathcal{P}_{\pi} \) to macierz ortogonalna o kolumnach złożonych z wektorów \( \vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}.\)