forum.zadania.info

Cześć mam takie równanie \(2\sin^2x - \cos 2x =1\) , jak sprowadzę do wyniku \(\sin^2x ={1\over2}\) to wychodzą mi 4 wyniki , ale jak do \(\cos2x=0\) to wychodzi mi tylko jeden. Moją prośbą jest wyjaśnienie ,skąd wiadomo ,że tamte 3 pozostałe są złe.

Rozwiązań w obu przypadkach jest nieskończenie wiele. Jeśli są jakieś założenia co do dziedziny, to je podaj.

Tulio pisze: ↑29 sty 2023, 00:29 Rozwiązań w obu przypadkach jest nieskończenie wiele. Jeśli są jakieś założenia co do dziedziny, to je podaj.

Nie chodzi mi o rozwiązania w dziedzinie tylko o podanie okresowość bo wychodzi mi różna zależnie z czego liczę

Nie wychodzą Ci "4 wyniki" (mam nadzieję) tylko cztery (lub jedna) grupy (grupa) rozwiązań, prawda? Może pokażesz obliczenia i zobaczymy co masz źle?

Nasz profesor poleca koło kątów (tak to nazywa) do sprawdzania poprawności odpowiedzi

Tulio pisze: ↑30 sty 2023, 17:59 Nie wychodzą Ci "4 wyniki" (mam nadzieję) tylko cztery (lub jedna) grupy (grupa) rozwiązań, prawda? Może pokażesz obliczenia i zobaczymy co masz źle?

Po przekształceniu równania 2sin²x -cox2x =1 do postaci:
a)
sin²x=½
Wychodzą mi (grupa?)cztery równania: k należy do Z
x = ¼pi +2kpi
x =¾pi +2kpi
x =5/7pi +2kpi
x =7/4pi +2kpi
b)
Cos2x=0
Wychodzi mi jedno rozwiązanie
x =¼pi +½kpi

Doinformowałem się, że te (grupę??) rozwiązań równania kwadratowego trzeba narysować na wykresie i sprawdzić ich okresowość czy przypadkiem nie tworzą wspólnego rozwiązania ,przez co wiem jak rozwiązać te równanie. Chciałbym się dowiedzieć o innych możliwych opcjach rozwiązania tego zadania z postaci a)

Teraz wiemy o czym mowa.
Tak, grupa rozwiązań, bo formalnie rozwiązaniem są:
\(x=\frac{1}{4}\pi\)
\(x=\frac{1}{4}\pi + 2\pi\)
\(x=\frac{1}{4}\pi + 4\pi\)
itd. dla samego pierwszego \(x=\frac{1}{4}\pi+2k\pi\)
Na przykład gdyby zadanie brzmiało "podaj przykład rozwiązania" to \(x=\frac{1}{4}\pi\) byłoby, jak najbardziej, prawidłową (jedną z nieskończenie wielu) odpowiedzi.

I teraz może zdarzyć się tak, że rozważania a) i b) są równoważne mimo pozornej różnicy w ilości (w rzeczywistości oba wyznaczają ich nieskończenie wiele więc niekoniecznie masz ich różną ilość).

Istotnie wyjdźmy od \(x=\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\cdot k\) ("rozwiązanie" b) ) i \(l\in \zz\)
wtedy dla \(k=4l\) mamy:
\(x=\frac{\pi}{4} + 2l\pi\) (twoje pierwsze "rozwiązanie" z a) )
dla \(k=4l + 1\) mamy:
\(x=\frac{\pi}{4} + 2l\pi + \frac{\pi}{2} = x=\frac{3}{4}\pi + 2l\pi\) (twoje drugie "rozwiązanie" z a) )
dla \(k=4l + 2\) otrzymasz trzecie i dla \(k=4l + 3\) otrzymasz czwarte z a)
(gdzie \(l\) to tylko nazwa jakiejś liczby całkowitej, więc jest równoważna Twojemu \(k\) z a) )
Tak wiec rozwiązania są równoważne mimo, że w pierwszym masz cztery ("rzadsze") grupy, a w drugim jedną ("bardziej ściśniętą").

Korni131 pisze: ↑05 lut 2023, 22:09 Chciałbym się dowiedzieć o innych możliwych opcjach rozwiązania tego zadania z postaci a)

Tej części nie w pełni rozumiem, ale:

Jeden sposób rozwiązania \(\sin^2 x = \frac{1}{2}\):
\(\sin x = \frac{ \sqrt{2} }{2} \vee \sin x = -\frac{ \sqrt{2} }{2} \)
i dalej masz swoje cztery grupy w zależności od \(k\).

Drugi sposób to przejście na drugą postać:
\(\sin^2 x = \frac{1}{2}\)
\(2 \sin^2 x = 1\)
\(2 \sin^2 x = \cos^2x + \sin^2 x\)
\(\sin^2 x - \cos^2 x = 0\)
\(\cos \left( 2x\right) = 0\)
i stąd \(2x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) masz swoje "jedno". Nie ma błędu w obu rozwiązaniach więc muszą one być równoważne nawet jeśli nie wyglądają na takie.

Czy o to chodziło?

anilewe_MM pisze: ↑05 lut 2023, 11:55 Nasz profesor poleca koło kątów (tak to nazywa) do sprawdzania poprawności odpowiedzi

Nie wiem co dokładnie nazywa tym "kołem kątów" (możliwe, że bardzo mądrą rzecz). Możesz rozwinąć?

A tu zobrazowanie: kliknij link, że naprawdę to to samo.

Tulio pisze: ↑05 lut 2023, 22:54 Nie wiem co dokładnie nazywa tym "kołem kątów" ...

Też korzystam z tego pojęcia, kolokwialnie nazywając osią liczbową nawiniętą na szpulkę o obwodzie \(2\pi\): i rzeczywiście służy do porównywania/łączenia/sprawdzania z dziedziną serii rozwiązań równań (w bardziej zaawansowanej wersji - nierówności) trygonometrycznych.

Pozdrawiam
PS. Przy okresach większych niż \(2\pi\) - bezużyteczne