forum.zadania.info

Podaj wzór jawny na \(S_n\), gdzie \(S_0=1, S_1=2\) oraz \(S_n=3S_{n-2}\) dla \(n \ge 2\). Czy poniższe rozwiązanie jest poprawne?

\(s_0=1\)
\(s_1=2\)
\(s_2=3\cdot S_0\)
\(s_3=3\cdot S_1\)
\(s_4=3\cdot 3\cdot S_0\)
\(s_5=3\cdot 3\cdot S_1\)

Zatem:
\(S_n=3^{ \frac{n}{2} }\cdot 1\)
\(S_{n+1}=3^{ \frac{n}{2} }\cdot 2\)

Nie. Wg górnego wzoru \(S_3=\sqrt{3}\), a wg dolnego wzoru \(S_3=2\sqrt{3}.\)

UWAGA! Poniższą treść dopisałem kilka chwil po napisaniu pierwszej linii. W tym samym czasie (odstęp kilku sekund ukazał się też ten post Jerry'ego: https://forum.zadania.info/viewtopic.ph ... 38#p354539. Poniższe rozwiązanie i rozwiązanie Jerry'ego są więc całkowicie niezależne. Pisaliśmy je w tej samej chwili oddaleni o ileś km bez nawiązywania kontaktu.

Wzór ogólny ma postać \(S_n=a(\sqrt{3})^n+b(-\sqrt{3})^n,\) gdzie \(a,b\) wyznaczamy z warunków początkowych:\[1=S_0=a-b,\quad 2=S_2=\sqrt{3}(a-b).\]Otrzymamy\[a = \frac{1}{3} \, \sqrt{3} + \frac{1}{2}, b = -\frac{1}{3} \, \sqrt{3} + \frac{1}{2},\]skąd\[S_n=\left(\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{2}\right)\cdot(\sqrt{3})^n+\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{2}\right)\cdot(-\sqrt{3})^n.\]W rozwiązaniu wykorzystałem metodę rozwiązywania rekurencji liniowych przez równanie charakretystyczne.

Pomysł OK, ale wzór

user656 pisze: ↑22 sty 2023, 16:05 \(S_n=3^{ \frac{n}{2} }\cdot 1\)
\(S_{n+1}=3^{ \frac{n}{2} }\cdot 2\)

niekoniecznie. Albo napisz alternatywnie dla \(n\) parzystych/nieparzystych albo sklej wzory z wykorzystaniem funkcji cechy i mantysy.

Pozdrawiam

PS.

Czyli
\[S_n=\begin{cases}3^k&\text{dla}&n=2k\\3^k\cdot2&\text{dla}&n=2k+1\end{cases}\wedge k\in\nn\]
albo sprawdź, czy
\[S_n=3^{\left[{n\over2}\right]}\cdot\left(2\cdot\left\{{n\over2}\right\}+1\right)\]
jest OK.

@szw1710
Czy to jest w programie szkoły średniej???

anilewe_MM pisze: ↑22 sty 2023, 17:51 @szw1710
Czy to jest w programie szkoły średniej???

Nie, na pewno tego nie ma. Odgadnięcie i ewentualnie dowód indukcyjny. Jednak ta metoda jest tu dość prosta.

Mamy rekurencję \(a_n=Aa_{n-1}+Ba_{n-2}.\) Po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę otrzymamy \(a_n-Aa_{n-1}-Ba_{n-2}=0.\) Tworzymy równanie charakterystyczne z niewiadomą \(r\). Jest nim \(r^2-Ar-B=0\). Ograniczę się tylko do przypadku dwóch pierwiastków rzeczywistych \(r_1\ne r_2\). Wtedy ogólny wyraz ciągu \((a_n)\) ma postać \(a_n=\alpha r_1^n+\beta r_2^n\), a współczynniki \(\alpha,\beta\) wyznaczamy z warunków początkowych, gdzie dane są konkretne wartości \(a_0,a_1\). Prześledź teraz moje rozwiązanie.

Jako pożyteczne ćwiczenie proponuję Ci wyznaczenie ogólnego wzoru na wyraz ciągu Fibonacciego \(a_0=a_1=1\) oraz \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\) dla \(n\in\nn\), \(n\geqslant 2.\) Tutaj już będzie bardzo ciężko zrobić to metodą zaprezentowaną przez Jerry'ego.

szw1710 pisze: ↑22 sty 2023, 19:30 ... Tutaj już będzie bardzo ciężko zrobić to metodą zaprezentowaną przez Jerry'ego.

Stosuję środki konieczne i wystarczające do rozstrzygnięcia problemu

Pozdrawiam

Jerry pisze: ↑23 sty 2023, 10:51

szw1710 pisze: ↑22 sty 2023, 19:30 ... Tutaj już będzie bardzo ciężko zrobić to metodą zaprezentowaną przez Jerry'ego.

Stosuję środki konieczne i wystarczające do rozstrzygnięcia problemu

Pozdrawiam

To przecież nie jest żadne odniesienie to Twojego sposobu rozwiązania, który w tym przypadku jest świetny, bo wymaga tylko umiejętności kojarzenia faktów. Zwróciłem jedynie uwagę na to, że w przypadku ciągu Fibonacciego ta metoda będzie ciężka do zrealizowania.

Również pozdrawiam,
Szymon