Figura

[avleyi]

Utworzono figurę z nieparzystej liczbie kwadratów symetryczną względem prostej k, jak na rysunku. Najmniejszy kwadrat ma bok długości 3, a kolejny kwadrat ma bok dwa razy dłuższy od poprzedniego.
a. Oblicz długość podstawy figury złożonej z 11 takich kwadratów.
b. Z ilu kwadratów składa się figura, jeśli jej pole wynosi 6129?

[Jerry]

Rozpatrzmy geometryczny ciąg boków kwadratów: \(a_n=3\cdot2^{n-1},\ n\in\nn_+\)
oraz ciąg ich pól: \(p_n=9\cdot4^{n-1},\ n\in\nn_+\)

1. Figura złożona z \(11\) takich kwadratów ma długość \(2\cdot S_6^a-a_1=2\cdot3\cdot\frac{1-2^6}{1-2}-3=\cdots\)
2. Figura złożona z \(2n-1\) kwadratów ma pole \(2\cdot S_n^p-p_1=2\cdot9\cdot\frac{1-4^n}{1-4}-9=6\cdot4^n-15\)
   \(6\cdot4^n-15=6129\iff 4^n=1024\iff n=5\)
   Odp. Z dziewięciu kwadratów

Pozdrawiam