sprawdzić czy jest gęstością

[Filip25]

Sprawdzić, czy funkcja
\(f(x)= \begin{cases} 0, \text{ dla } x<0 \\ 2e^{-2x} \text{ dla } x \ge 0 \end{cases}\)
jest gęstością prawdopodobieństwa. Znaleźć dystrybuantę. Obliczyć \(P(X<0,5)\) oraz \(P(1<X<2)\).

[eresh]

Sprawdzić, czy funkcja
\(f(x)= \begin{cases} 0, \text{ dla } x<0 \\ 2e^{-2x} \text{ dla } x \ge 0 \end{cases}\)
jest gęstością prawdopodobieństwa. Znaleźć dystrybuantę. Obliczyć \(P(X<0,5)\) oraz \(P(1<X<2)\).

\(\int_0^{\infty}2e^{-2x}dx=[-e^{-2x}]_0^{\infty}=0+1=1\)
f jest gęstością

dystrybuanta:
\(\mbox{ dla }x\leq 0\;\;\;\;\;F(x)=0\\
\mbox{ dla }x>0\;\;\;\;\;\;\;F(x)=1\)

\(P(X<0,5)=F(0,5)=1\\
P(1<X<2)=F(2)-F(1)=0\)