Geometria analityczna - układ współrzędnych

[kotrimek]

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań:
1. Wyznacz równanie kierunkowe prostej równoległej do prostej \(k\) i przechodzącej przez punkt \(B\), jeśli
\( k: y= 7x-3\) oraz \(B(14,3)\)
2. Oblicz odległość punktu \(A(-3,2)\) od prostej \(k: 7x-y+17=0\)
3. Oblicz pole trójkąta \(ABC\) jeśli \(A(-1,1),\ B(-3,-5),\ C(1,-3)\)
4. Określ położenie prostej \( k: x-y+4=0\) względem okręgu \(O:x^2+y^2=4\)

[eresh]

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań:
1. Wyznacz równanie kierunkowe prostej równoległej do prostej \(k\) i przechodzącej przez punkt \(B\), jeśli
\( k: y= 7x-3\) oraz \(B(14,3)\)

\(a_1=a_2\\
a_1=7\\
a_2=7\\
y=7x+b\\
3=7\cdot 14+b\\
3=98+b\\
b=-95\\
y=7x-95\)

[Jerry]

1. Wyznacz równanie kierunkowe prostej równoległej do prostej \(k\) i przechodzącej przez punkt \(B\), jeśli \( k: y= 7x-3\) oraz \(B(14,3)\)

\(k\parallel l:y=7(x-14)+3\)

2. Oblicz odległość punktu \(A(-3,2)\) od prostej \(k: 7x-y+17=0\)

\(d(A,k)=\frac{|7\cdot(-3)-2+17|}{\sqrt{7^2+(-1)^2}}=\ldots\)

3. Oblicz pole trójkąta \(ABC\) jeśli \(A(-1,1),\ B(-3,-5),\ C(1,-3)\)

\(\begin{cases}\vec{AB}=[-2,-6]\\ \vec{AC}=[2,-4]\end{cases}\So S_{\Delta ABC}={1\over2}\cdot| \begin{vmatrix} -2&-6 \\2 &-4 \end{vmatrix} |={1\over2}\cdot|8+12|=\ldots\)

4. Określ położenie prostej \( k: x-y+4=0\) względem okręgu \(O:x^2+y^2=4\)

\(d((0,0),k)=\frac{|0-0+4|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=2\sqrt2>2=r\), zatem \(k\) jest rozłączna z okręgiem \(O\).

Pozdrawiam

[eresh]

2. Oblicz odległość punktu \(A(-3,2)\) od prostej \(k: 7x-y+17=0\)

\(d=\frac{|-3\cdot 7+2\cdot (-1)+17|}{\sqrt{7^2+(-1)^2}}\\
d=\frac{6}{\sqrt{50}}\\
d=\frac{6}{5\sqrt{2}}\\
d=\frac{6\sqrt{2}}{10}\\
d=\frac{3\sqrt{2}}{5}\)

[eresh]

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań:

4. Określ położenie prostej \( k: x-y+4=0\) względem okręgu \(O:x^2+y^2=4\)

\(S(0,0)\\
r=2\\
\)
odległość środką okręgu od prostej:
\(d=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\\
2\sqrt{2}>2\\
d>r\)

prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych

[eresh]

3. Oblicz pole trójkąta \(ABC\) jeśli \(A(-1,1),\ B(-3,-5),\ C(1,-3)\)

\(|AB|=\sqrt{(-3+1)^2+(-5-1)^2}\\
|AB|=\sqrt{4+36}\\
|AB|=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)

równanie prostej AB:
\(a=\frac{-5-1}{-3+1}\\
a=\frac{-6}{-2}\\
a=3\\
y=3(x+1)+1\\
y=3x+4\\
3x-y+4=0\)

wysokość trójkąta (odległość C od prostej AB)
\(h=\frac{|3+3+4|}{\sqrt{9+1}}\\
h=\frac{10}{\sqrt{10}}\)

\(P=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{10}\cdot\frac{10}{\sqrt{10}}\\
P=10\)