forum.zadania.info

a) Dla jakich wartości A funkcja f(x,y,z) jest gęstością wektora losowego (X,Y,Z)?
b) Czy zmienne losowe X,Y,Z są niezależne?

\[f(x,y,z)=\left\{{{A\ \text{dla }\ 0<x<1\ 0<y<1\ \ 0<z<1\ }\atop {0\ \text{ w przeciwnym przypadku} } } \right. \]

a) Widać, że rozkład jest jednostajny na sześcianie. Musi zachodzić warunek, że całka potrójna z gęstości wynosi 1. To bardzo proste. Zwyczajnie \(A\cdot V=1\), gdzie \(V=1\) jest objętością sześcianu. Wniosek: \(A=1.\)

b) widać tu pełną symetrię. Rozkłady zmiennych losowych \(X,Y,Z\) wyznaczysz jako rozkłady brzegowe. Będą one takie same. No i musisz sprawdzić czy dystrybuanta rozkładu łącznego jest iloczynem dystrybuant rozkładów brzegowych.

Mamy\[f_X(x)=\int_0^1\int_0^1 A\,dydz=A=1\] dla \(x\in[0,1]\) oraz \(0\) w przeciwnym przypadku. Widać zatem, że zmienne \(X,Y,Z\) mają rozkłady jednostajne na \([0,1]\).

Iloczyn dystrybuant: \(F_X(x)F_Y(y)F_Z(z)=xyz\) dla \(x,y,z\in[0,1]\) oraz \(0\) w pozostałym przypadku.

Dystrybuanta rozkładu łącznego: \[F(x,y,z)=\int_ 0^x\int_ 0^y\int_ 0^z A\,dzdydx=xyz.\]

Te zmienne losowe są niezależne.