Dwa zadania geometria analityczna

[hideto]

Witam, prosiłbym o w miarę klarowne wytłumaczenia poniższych zadań:

1. Wyznacz równanie prostej, do której należy punkt\( P (-6,15)\) i takiej, że odległość punktu \(Q(4,-5)\) od tej prostej wynosi \(10\).
W tym zadaniu poszedłem drogą, która doprowadziła mnie niestety tylko do jednego wyniku : \(4y+3x-42=0\)
Natomiast nie wiem dlaczego mój sposób "nie wykrywa" drugiego rozwiązania, a mianowicie \(x+6=0\)


2. W trójkącie prostokątnym \(ABC(|<ABC|=90^\circ\)) dwa wierzchołki mają współrzędne \(A(4,-5)\) i \(C(-8,5)\). Wyznacz współrzędne wierzchołka \(B\), wiedząc, że pole trójkąta ABC jest równe \(61\).
Tutaj obliczyłem długość \(|AC|= 2\sqrt{61}\) i stanąłem w miejscu.
( Wynik to \(B_1(3,6)\) lub\( B_2 (-7,-6)\))

[Jerry]

... nie wiem dlaczego mój sposób "nie wykrywa" drugiego rozwiązania, a mianowicie \(x+6=0\)

Domyślam się, że poszedłeś drogą pęku prostych, czyli
\(l_m:y=m(x-x_0)+y_0\wedge m\in\rr\)
tylko to równanie nie obejmuje prostych pionowych: \(l_0:x=x_0\)! I tę prostą powinieneś sprawdzić "ręcznie".

Mniej sympatycznym pękiem, ale kompletnym, jest

Przez punkt \(P(x_0,y_0)\) przechodzą proste \(A(x-x_0)+B(y-y_0)=0\wedge A^2+B^2>0\)

Pozdrawiam

[Jerry]

2. W trójkącie prostokątnym \(ABC(|<ABC|=90^\circ\)) dwa wierzchołki mają współrzędne \(A(4,-5)\) i \(C(-8,5)\). Wyznacz współrzędne wierzchołka \(B\), wiedząc, że pole trójkąta ABC jest równe \(61\).
Tutaj obliczyłem długość \(|AC|= 2\sqrt{61}\) i stanąłem w miejscu.

1. Skoro trójkąt jest prostokątny i \(|\angle ABC|=90^\circ\), to punkt \(B\) leży na okręgu opisanym na tym trójkącie. Czyli jego współrzędne spełniają równanie
   \(\left(x-\frac{4+(-8)}{2}\right)^2+\left(y-\frac{-5+5}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{(-8-4)^2+(5-(-5))^2}}{2}\right)^2\)
2. Policzyłeś długość podstawy \(\overline{AC}\), czyli można policzyć długość wysokości opuszczonej na nią: \(h_B=\frac{2\cdot61}{2\sqrt{61}}=\sqrt{61}\).
3. Przez punkty \(A,C\) przechodzi prosta \(b:5x+6y+10=0\)
4. \(h_b=d(B,b)\iff \sqrt{61}=\frac{|5x+6y+10|}{\sqrt{5^2+6^2}}\)
5. pozostaje rozwiązanie układu z równań 1. i 4.

Pozdrawiam
PS. Dla spostrzegawczych: skoro wysokość jest połową przeciwprostokątnej, to ten trójkąt jest równoramienyy