forum.zadania.info

Dany jest wielomian \(G(x)=kx^3 +lx^2 +mx +n\) , gdzie współczynniki \(k, l, m, n\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie różnym od zera. Wykaż że wielomian ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
Oznaczmy \(k,l,m,n\) jako kolejne wyrazy ciągu
\(a_1=k\\
a_2=l=a_1\cdot q\\
a_3=m=a_1\cdot q^2\\
a_4=n=a_1\cdot q^3\)
Zatem
\((a_1)x^3 +(a_1\cdot q)x^2 +(a_1\cdot q^2)x +(a_1\cdot q^3)=0\)
Otóż w rozwiązaniach w ksiażce w następnym kroku autorzy dzielą to wyrażenie przez \(a_1\) i tworzą założenie że \(a_1\ne0\).
W poleceniu nie ma żadnej informacji o tym że \(a_1\) jest różne od zera.
Jak zatem rozwiązać to zadanie?

Pamix pisze: ↑07 sie 2022, 13:07 ...tworzą założenie że \(a_1\ne0\).
W poleceniu nie ma żadnej informacji o tym że \(a_1\) jest różne od zera.

Gdyby \(a_1=0\), to dany wielomian byłby wielomianem zerowym i miał nieprzeliczalnie wiele miejsc zerowych

Pamix pisze: ↑07 sie 2022, 13:07 Jak zatem rozwiązać to zadanie?

Rozpatrzeć wielomian \(w(x)=x^3+qx^2+q^2x+q^3\), policzyć pochodną, zauważyć jej dodatniość w całym przedziale określoności - czyli rośnięcie wielomianu, policzyć granice w kresach przedziału określoności i powołać się na własność Darbouix.

Pozdrawiam