zadanie 9 z pokazowej matury 2023

[franco11]

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) punkt A = (9,12) jest wierzchołkiem trójkąta ABC. Prosta k o równaniu \(y= \frac{1}{2}x \) zawiera dwusieczną kąta ABC tego trójkąta. Okrąg Θ o równaniu \((x-8)^2+(y-4)^2=16\) jest wpisany w ten trójkąt.
Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki B i C tego trójkąta z okręgiem Θ

[Jerry]

Na początek schludny rysunek:

1. Pęk prostych punktu \(A\) ma równanie
   \(k_0:x=9\, \text{ (nie jest styczną do danego okręgu) }\vee k_m: y=m(x-9)+12\wedge m\in\rr\)
2. Stycznymi do okręgu są proste \(k_m\) spełniające
   \(d(Q,k_m)=r\iff \frac{|8m-4+12-9m|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}=4\\
   m={4\over3}\vee m=-{12\over5}\)
3. • \(B_1:\begin{cases}y={1\over2}x\\y={4\over3}(x-9)+12\end{cases}\\ B_1(0,0)\)
   • \(B_2:\begin{cases}y={1\over2}x\\y=-{12\over5}(x-9)+12\end{cases}\\ B_2\left({336\over29},{168\over29}\right)\)
     \(B_2\) nie może być wierzchołkiem danego trójkąta - weryfikacja np.
     -) rysunkiem
     -) \(\angle QB_2A\) jest rozwarty, bo \(\vec{B_2Q}\circ\vec{B_2A}<0\)
     -) \(|B_2A|<\sqrt{(9-8)^2+(12-4)^2-4^2}=|AN|\)
4. Ponieważ dany okrąg jest styczny do prostej \(y=0\) w punkcie \((8,0)\), i punkt \(B\) należy do tej prostej, to trzeci bok trójkąta zawarty jest w niej i

Odpowiedź: \(P(8,0)\)

Pozdrawiam

[edited] z "szukajki"