forum.zadania.info

Pole prostokąta jest równe 36. Jakie wymiary powinien miec ten prostokat aby jego obwód był największy?

avleyi pisze: ↑16 maja 2022, 00:20 Pole prostokąta jest równe 36. Jakie wymiary powinien miec ten prostokat aby jego obwód był największy?

Raczej najmniejszy...

Z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną
\[\bigwedge\limits_{a,b\in\rr_+}\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\text{ i równość dla } a=b\]
jeśli \(ab=36\), to \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{36}\), czyli \(Ob=2a+2b\ge24\) i równość zachodzi dla \(a=b=6\)

Pozdrawiam

Albo:
Niech \(x>0\) będzie długością boku prostokąta, wtedy \({36\over x}\) jest długością drugiego boku i jego obwód określa funkcja \[y=f(x)=2x+{72\over x} \quad \wedge \quad D=(0;+\infty)\]

1. \(\Lim_{x\to0^+}f(x)=\Lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
2. \(y'=f'(x)=2-{72\over x^2}=\frac{2(x+6)}{x^2}\cdot(x-6)\quad\wedge\quad D'=D\)
3. WKIE: \(y'=0\iff x=6\)
4. WDIE: Analizując znak pochodnej mamy \(f\searrow(0;6)\wedge f\nearrow(6;+\infty)\), zatem \(\begin{cases}x=6\\ y_\min=f(6)=24\end{cases}\)

Odpowiedź: Najmniejszy obwód, równy \(24\), ma kwadrat o boku \(6\).

Pozdrawiam