Zbadać czy
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Zbadać czy
Zbadać czy liczby \(\sqrt{2}\) , \(\sqrt{3}\) , \(\sqrt{5} \) mogą być wyrazami ciągu arytmetycznego
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Zbadać czy
Zakładam że mogą być pewnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy r.
Wtedy \(\sqrt{2}+kr=\sqrt{3}\) oraz \(\sqrt{3}+mr=\sqrt{5} \) więc:
\(r= \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{k}= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{m} \\
m(\sqrt{3} - \sqrt{2} )= k((\sqrt{5} - \sqrt{3})\)
Podnieś ostatnie równanie do kwadratu i wyjaśnij czy da się wyrugować z wyniku niewymierność dla dowolnych całkowitych k,m.
Wtedy \(\sqrt{2}+kr=\sqrt{3}\) oraz \(\sqrt{3}+mr=\sqrt{5} \) więc:
\(r= \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{k}= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{m} \\
m(\sqrt{3} - \sqrt{2} )= k((\sqrt{5} - \sqrt{3})\)
Podnieś ostatnie równanie do kwadratu i wyjaśnij czy da się wyrugować z wyniku niewymierność dla dowolnych całkowitych k,m.
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Zbadać czy
raczej:
\(m^2(5-2\sqrt{6})=k^2(8-2\sqrt{15})\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- Jerry
- Expert
- Posty: 3541
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1946 razy
Re: Zbadać czy
\({m^2\over k^2}=\frac{(8-2\sqrt{15})(5+2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})}=40-16\sqrt6-10\sqrt{15}+12\sqrt{10}\notin\qq\)
zatem sprzeczność dla \(m,k\in\nn\)
Pozdrawiam