forum.zadania.info

\(

a) \Lim_{x\to \infty } \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^n} \right) \\
b) \Lim_{x\to \infty } \left( \frac{x-1}{x+3} \right)^ \left( x+2 \right) \\
c) \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{10^n + 9^n + 8^n} \\ \)
d) Niech \( a_n = \frac{n^n}{n!} \). Oblicz granicę: \( \Lim_{n\to \infty } \frac{a_n}{a_n+1} \)

Sway22 pisze: ↑27 sty 2022, 00:13 \(
a) \Lim_{\color{red}{x}\to \infty } \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^n} \right) \\
\)

\(\Limn\left({1\over2}+{1\over4}+\ldots+{1\over2^n}\right)=\Limn {1\over2}\cdot\frac{1-0,5^n}{1-0,5}={1\over2}\cdot\frac{1-0}{1-0,5}=1\)

Pozdrawiam

Sway22 pisze: ↑27 sty 2022, 00:13 \(
b) \Lim_{x\to \infty } \left( \frac{x-1}{x+3} \right)^ \left( x+2 \right) \)

\(\Lim_{x\to \infty } \left( \frac{x+3-4}{x+3} \right)^ \left( x+2 \right) =\Lim_{x\to \infty } \left[ \left( 1+ \frac{-4}{x+3} \right)^{x+3\over-4}\right]^{{-4\over x+3}\cdot \left( x+2 \right)}=e^{-4}
\)

Pozdrawiam

Sway22 pisze: ↑27 sty 2022, 00:13 \(
c) \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{10^n + 9^n + 8^n} \)

Np.
\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{10^n + 9^n + 8^n}=\Lim_{n\to \infty } 10\cdot \sqrt[n]{1 + 0,9^n + 0,8^n}=10\cdot \sqrt[n]{1 + 0 + 0}=10
\)

Pozdrawiam

Sway22 pisze: ↑27 sty 2022, 00:13 d) Niech \( a_n = \frac{n^n}{n!} \). Oblicz granicę: \( \Lim_{n\to \infty } \frac{a_n}{a_n+1} \)

Nie powinno być \(\Limn \frac{a_n}{a_{n+1}}=\)

Pozdrawiam

Jerry pisze: ↑27 sty 2022, 00:49

Sway22 pisze: ↑27 sty 2022, 00:13 d) Niech \( a_n = \frac{n^n}{n!} \). Oblicz granicę: \( \Lim_{n\to \infty } \frac{a_n}{a_n+1} \)

Nie powinno być \(\Limn \frac{a_n}{a_{n+1}}=\)

Pozdrawiam

tak, przepraszam za bład

Sway22 pisze: ↑27 sty 2022, 00:52 tak, przepraszam za bład

\(\Limn \frac{a_n}{a_{n+1}}=\Limn \frac{n^n}{n!}\cdot\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}=\Limn \frac{n^n}{(n+1)^n}
=\Limn\frac{1}{\left(1+{1\over n}\right)^n}={1\over e}\)

Pozdrawiam

Sway22 pisze: ↑27 sty 2022, 00:13 \(

c) \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{10^n + 9^n + 8^n} \\ \)

Z twierdzenia o trzech ciągach:
\(\sqrt[n]{10^n}\leq\sqrt[n]{10^n+9^n+8^n}\leq\sqrt[n]{10^n\cdot 3}\\
\Lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{10^n}=10\\
\Lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{3\cdot 10^n}=10\\
\mbox{ zatem}\\
\Lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{10^n + 9^n + 8^n}=10\)