Strona 1 z 1
Rozkład normalny
: 17 sty 2022, 17:49
autor: Pitrosin
Niech zmienna losowa \(X\) ma rozkład normalny \(N(4,5)\).
Korzystając z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego obliczyć prawdopodobieństwo
a) \(P(|X|>3)\)
b) \(P(|X|=10)\)
c) \(P(-3<X<-2)\)
Korzystając z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego \(N(0,1)\) odczytać przybliżoną wartość \(X_p\)
a) \(P(X<X_p) = 0,88\)
b) \(P(X \ge X_p) = 0,88\)
c) \(P(|X|<X_p) = 0,88\)
Na podstawie badań stwierdzono, że czas wykonania pewnego zadania przez pracownika ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej 45 minut i odchyleniu standardowym 10 minut.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba wykona zadanie w czasie nie dłuższym niż 30 minut?
b) Jaki odsetek osób wykonuje to zadanie w czasie pomiędzy 40 a 50 minut?
Re: Rozkład normalny
: 17 sty 2022, 19:22
autor: grdv10
Wszystko opiera się na standaryzacji. Jeśli zmienna \(X\) ma rozkład \(N(m,\sigma)\), to zmienna standaryzowana
\(U=\dfrac{X-m}{\sigma}\) ma rozkład \(N(0,1).\) Wystarczy odpowiednio rozpisać nierówności i je standaryzować.
Re: Rozkład normalny
: 17 sty 2022, 20:36
autor: Tmkk
Wiem, że to tylko literówka, ale żeby autor się nie pogubił, powinno być \(\mathcal{N}(m, \sigma^2)\), jeśli chcemy potem dzielić przez sigmę przy normalizacji.
Re: Rozkład normalny
: 17 sty 2022, 20:42
autor: grdv10
Tmkk pisze: ↑17 sty 2022, 20:36
Wiem, że to tylko literówka, ale żeby autor się nie pogubił, powinno być
\(\mathcal{N}(m, \sigma^2)\), jeśli chcemy potem dzielić przez sigmę przy normalizacji.
To wcale nie literówka. Jedni jako drugi parametr podają wariancję, inni odchylenie standardowe. Najpierw skonsultuj z książkami, a potem zarzucaj mi literówkę. Sam to konsultowałem wielokrotnie. I nawet więcej podręczników podaje tak jak ja napisałem.
Re: Rozkład normalny
: 17 sty 2022, 21:12
autor: Tmkk
A, no spoko, to sory, myślałem, że podajesz wariancję. Ja nigdy w życiu nie spotkałem się z takim oznaczeniem, więc nie przyszło mi do głowy, aby szukać, że tak czasem jest. To ciekawe czym jest piątka w poście autora
Re: Rozkład normalny
: 17 sty 2022, 23:11
autor: grdv10
Tmkk pisze: ↑17 sty 2022, 21:12
A, no spoko, to sory, myślałem, że podajesz wariancję. Ja nigdy w życiu nie spotkałem się z takim oznaczeniem, więc nie przyszło mi do głowy, aby szukać, że tak czasem jest. To ciekawe czym jest piątka w poście autora
Z kontekstu wynika, że to odchylenie standardowe.
Re: Rozkład normalny
: 18 sty 2022, 10:35
autor: Pitrosin
szw1710 pisze: ↑17 sty 2022, 19:22
Wszystko opiera się na standaryzacji. Jeśli zmienna \(X\) ma rozkład \(N(m,\sigma)\), to zmienna standaryzowana
\(U=\dfrac{X-m}{\sigma}\) ma rozkład \(N(0,1).\) Wystarczy odpowiednio rozpisać nierówności i je standaryzować.
Nie wiem czy dobrze to zrozumiałem ale jak mam
\( P(|X| > 3)\) to będzie
\( U = \frac{|X|-4}{5} \) i
\( U = \frac{3-4}{5} \)
Re: Rozkład normalny
: 18 sty 2022, 12:30
autor: eresh
Pitrosin pisze: ↑17 sty 2022, 17:49
Niech zmienna losowa
\(X\) ma rozkład normalny
\(N(4,5)\).
Korzystając z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego obliczyć prawdopodobieństwo
a)
\(P(|X|>3)\)
b)
\(P(|X|=10)\)
c)
\(P(-3<X<-2)\)
\(P(|X|>3)=1-P(|X|\leq 3)=1-P(-3\leq X\leq 3)=1-P(\frac{-3-4}{5}<\frac{X-4}{5}\leq \frac{3-4}{5})=\\=1-P(-1,4\leq\frac{X-4}{5}\leq -0,2)=1-(\Phi(-0,2)-\Phi (-1,4))=\\=1-\Phi(-0,2)+\Phi (-1,4)=1-(1-\Phi(0,2)+(1-\Phi(1,4))\)
Re: Rozkład normalny
: 18 sty 2022, 12:36
autor: eresh
Pitrosin pisze: ↑17 sty 2022, 17:49
Na podstawie badań stwierdzono, że czas wykonania pewnego zadania przez pracownika ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej 45 minut i odchyleniu standardowym 10 minut.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba wykona zadanie w czasie nie dłuższym niż 30 minut?
b) Jaki odsetek osób wykonuje to zadanie w czasie pomiędzy 40 a 50 minut?
\(
X\sim \mathcal{N}(45,10)\\
P(X\leq 30)=P(\frac{X-45}{10}<\frac{30-45}{10})=\Phi (-1,5)=1-\Phi(1,5)\approx 1-0,93\\
P(40<X<50)=P(\frac{40-45}{10}<\frac{X-45}{10}<\frac{50-45}{10})=\Phi(0,5)-\Phi(-0,5)=\Phi(0,5)-1+\Phi(0,5)=\\
=2\Phi (0,5)-1\approx 0,383\)
Re: Rozkład normalny
: 18 sty 2022, 17:01
autor: Pitrosin
I czy jest jakiś wzór/prosty sposób odnośnie drugiego zadania?
Re: Rozkład normalny
: 18 sty 2022, 17:50
autor: grdv10
To jest tzw. dystrybuanta odwrotna (ang. quantile function). Weźmy dla przykładu \(P(X\geqslant X_p)=0.1250.\) Tak więc ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego mamy\[0.1250=P(X\geqslant X_p)=1-P(X<X_p)=1-F(X_p),\]gdzie \(F\) to dystrybuanta rozkładu \(N(0,1)\). Dlatego\[F(X_p)=0.8750\]i przeglądając tablice dystrybuanty znajdujesz, że \[F(1.15)=0.8749,\]czyli \(X_p\approx 1.15\).