Strona 1 z 1
Dowód nierówności
: 14 sty 2022, 07:14
autor: poetaopole
Udowodnij, że dla dowolnego \(a\) i dowolnego \(b>1\) zachodzi: \(a ^{2} -ab+b ^{2}>a \)
Re: Dowód nierówności
: 14 sty 2022, 09:34
autor: kerajs
\(a ^{2} -ab+b ^{2}-a>0 \\
\frac{1}{2} ((a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)(b+1))>0
\)
Re: Dowód nierówności
: 14 sty 2022, 12:42
autor: Jerry
Albo, bardziej po uczniowsku, rozpatrzmy funkcje:
\[f_b(a)=a ^{2} -ab+b ^{2}-a=a^2-(b+1)a+b^2\quad\wedge a\in\rr\wedge b>1\]
Ponieważ
\[\Delta(b)=(b+1)^2-4b^2=-3b^2+2b+1=(-3b^2-b)+(3b+1)=-(b-1)(3b+1)\]
dla \(b>1\) przylmuje wartości ujemne, to
\[\forall_{a\in\rr}f_b(a)>0\]
Pozdrawiam
Re: Dowód nierówności
: 14 sty 2022, 13:32
autor: Icanseepeace
Moja propozycja:
Dla \( a \leq 0 \) nierówność jest prawdziwa ze względu na różne znaki obu stron. Dla pozostałych:
\( L = a^2 - ab + b^2 = (a-b)^2 + ab \geq ab > a = P \)