Rozwiąż równanie kwadratowe z liczbą zespoloną

[humusek]

Rozwiąż równanie:
\(x^2-(3+2i)x+5+i=0\)

[Icanseepeace]

To zwykłe równanie kwadratowe.
Zaczynasz standardowo czyli od wyznaczenia wartości wyróżnika dla twojego wielomianu.

[humusek]

Wyróżnik wychodzi \(-15+8i\). I co z tym zrobić dalej?

[Icanseepeace]

Teraz szukasz liczb zespolonych które podniesione do kwadratu dadzą Ci \( -15 + 8i\), czyli dla pewnych liczb rzeczywistych \(a,b\) ma być spełniona równość:
\( (a+bi)^2 = - 15 + 8i \)
bądź też po rozpisaniu i porównaniu:
\( \begin{cases} a^2 - b^2 = -15 \\ 2ab = 8 \end{cases} \)
Wobec tożsamości:
\( a^2 + b^2 = \sqrt{(a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2} \)
Możemy łatwo wyznaczyć:
\( \begin{cases} a^2 - b^2 = - 15 \\ a^2 + b^2 = 17 \end{cases} \)
czyli po dodaniu stronami \( a^2 =1 \So a = \pm 1 \)
wartość \( b \) można wyliczyć z drugiego równania: \( ab = 4 \)
Ostatecznie
\( \sqrt{-15 + 8i} = \{1 + 4i , -1 - 4i\} \)
Do wyznaczenia rozwiązań równania wystarczy, że wybierzesz jeden element z powyższego zbioru i podstawisz go do znanego ze szkoły wzoru.

[humusek]

Nie rozumiem skąd wzięło się to:
\(\begin{cases}a^2−b^2=−15\\2ab=8 \end{cases}\)

[Icanseepeace]

\( (a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi = - 15 + 8i \)
i porównujesz części rzeczywiste i urojone tych dwóch liczb.

[humusek]

Próbowałem wykonać to samo co ty tylko bez tej tożsamości
\(\begin{cases}a^2−b^2=−15\\2ab=8 \end{cases}\)
Wyznaczyłem b:
\(b=\frac{4}{a}\)
Podstawiłem do równania:
\(a^2-\frac{16}{a^2}=-15\)
I postać ta wygląda bardzo źle

[humusek]

Przepraszam za błąd już go poprawiłem.

[Icanseepeace]

\( t = a^2 , t \geq 0 \) (bo \( a \) jest liczbą rzeczywistą )
\( t - \frac{16}{t} = - 15 \\ t^2 + 15t - 16 = 0 \\ t = -16 \vee t = 1 \)
Przypadek \( t = -16 \) odrzucasz ze względu na założenie \( t \geq 0 \)
\( t = 1 \So a^2 = 1 \So a = \pm 1 \)

[humusek]

Faktycznie! Jesteś genialny! Wielkie dzięki wszystko się zgadza<3