stożek
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
r- promień podstawy, l- tworząca stożka
\(P_p=\frac{1}{2}\cdot2r\cdot\ l\cdot\ sin\alpha\\P_c=\pi\ r^2+\pi\ rl\\\frac{r}{l}=cos\alpha\\rl\ sin\alpha\cdot\pi\sqrt{3}=\pi\ r^2+\pi\ rl\\\sqrt{3}l\ sin\alpha=r+l\\\sqrt{3}l\ sin\alpha=l\ cos\alpha+l\\cos\alpha=\sqrt{3}sin\alpha-1\)
Z jedynki trygonometrycznej:
\(sin^2\alpha+(\sqrt{3}sin\alpha-1)^2=1\\sin^2\alpha+3sin^2\alpha-2\sqrt{3}sin\alpha+1=1\\4sin^2\alpha-2\sqrt{3}sin\alpha=0\\2sin\alpha(2sin\alpha-\sqrt{3})=0 \Leftrightarrow sin\alpha=0\ \vee \ sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\\0^o<\alpha<90^o \Rightarrow sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha=60^o\)
\(P_p=\frac{1}{2}\cdot2r\cdot\ l\cdot\ sin\alpha\\P_c=\pi\ r^2+\pi\ rl\\\frac{r}{l}=cos\alpha\\rl\ sin\alpha\cdot\pi\sqrt{3}=\pi\ r^2+\pi\ rl\\\sqrt{3}l\ sin\alpha=r+l\\\sqrt{3}l\ sin\alpha=l\ cos\alpha+l\\cos\alpha=\sqrt{3}sin\alpha-1\)
Z jedynki trygonometrycznej:
\(sin^2\alpha+(\sqrt{3}sin\alpha-1)^2=1\\sin^2\alpha+3sin^2\alpha-2\sqrt{3}sin\alpha+1=1\\4sin^2\alpha-2\sqrt{3}sin\alpha=0\\2sin\alpha(2sin\alpha-\sqrt{3})=0 \Leftrightarrow sin\alpha=0\ \vee \ sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\\0^o<\alpha<90^o \Rightarrow sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha=60^o\)