forum.zadania.info

Dany jest czworościan \(ABCD\), którego objętość wynosi \(\frac{1}{6}\). Ponadto wiadomo że \(\angle ACB=45^{\circ},AD+BC+\frac{AC}{\sqrt2}=3\). Oblicz długość \(CD\).

\(1^\circ\quad {1\over6}=V_O\le{1\over3}\cdot\left({1\over2}\cdot|BC|\cdot|AC|\cdot{\sqrt2\over2}\right)\cdot|AD|\iff|BC|\cdot|AC|\cdot|AD|\le\sqrt2\)
i równość zachodzi dla: \(\overline{AD}\) jest wysokością czworościanu
\(2^\circ\quad 1={3\over3}={|AD|+|BC|+\frac{|AC|}{\sqrt2}\over3}\ge\sqrt[3]{|AD|\cdot|BC|\cdot\frac{|AC|}{\sqrt2}}\iff |BC|\cdot|AC|\cdot|AD|\ge\sqrt2\)
i równość zachodzi dla \(|AD|=|BC|=\frac{|AC|}{\sqrt2}\)
\(3^\circ\quad\) Wobec powyższego
\( \begin{cases}|BC|\cdot|AC|\cdot|AD|=\sqrt2\\ |AD|=|BC|=\frac{|AC|}{\sqrt2}\\ |CD|=\sqrt{|AC|^2+|AD|^2}\end{cases} \)
i do odpowiedzi blisko...

Pozdrawiam