atasays pisze: ↑25 lut 2021, 18:14
Wewnętrzne 40% populacji zmiennej o rozkładzie normalnym zawiera się w przedziale <100;150>. Jakie są parametry tego rozkładu? (średnia i odchylenie)
\(\mu \text{ i } \sigma\) - nieznane parametry rozkładu
\(P(100<X<150)=0,4 \iff P \left( \frac{100-\mu}{\sigma} < \frac{X-\mu}{\sigma} < \frac{150-\mu}{\sigma} \right)=0,4\)
Zmienna
\(U=\frac{X-\mu}{\sigma}\) ma rozkład normalny N(0,1).
Szukamy takich t i s, aby
\( \begin{cases} \frac{150-\mu}{\sigma}=t+s\\ \frac{100-\mu}{\sigma}=t-s\end{cases} \)
Nietrudne obliczenia prowadzą do wyniku:
\(t= \frac{125-\mu}{\sigma},\,\,\, s= \frac{25}{\sigma} \)
Bierzemy
\(\mu=125\) i szukamy takiego s, aby
\(P(|U|<s)=0,4\).
W tablicach (ja w Excelu) znajdujemy s=0,5244, więc
\(\sigma = \frac{25}{s}=47,67 \).
Odpowiedź: Jeśli wewnętrzne 40% populacji zmiennej o rozkładzie normalnym zawiera się w przedziale <100;150>, to średnia \(\mu=125\), a odchylenie \( \sigma=47,67\)
Sprawdzając w Excelu to przypuszczenie otrzymujemy wartość 40% z bardzo dobrą dokładnością.
Polecenie: ROZKŁAD.NORMALNY(150;125;47,67;PRAWDA)-ROZKŁAD.NORMALNY(100;125;47,67;PRAWDA)
No i jeszcze ilustracja: