Logarytmy

[WitamWitam]

Zadanie. Wyznacz najmniejszy z przedziałów \((a;b)\), o końcach będącymi liczbami całkowitymi, do którego należy podana liczba.
a) \(\log_{10}0,75\)
b) \(\log_7{5\over6}\)
c) \(\log_{0,75}2\)
d) \(\log_{0,1}15\)
e) \(\log_\sqrt{2}12\)

[panb]

WitajWitaj ale ... musisz stosować poprawny zapis, bo zadania trafią na śmietnik z powodu złego zapisu.
To nie jest trudne.
Załóżmy, że w pierwszej linijce chodzi o \(\log_{10}0,75\)
To się robi bardzo prosto. Popatrz.
\(\log_{10}0,75=x \iff 10^x=0,75\\
10^{-2}=0,01\\
10^{-1}=0,1\\
10^0=1\)
Jak nietrudno zauważyć \(10^{-1}=0,1<x<1=10^0\), więc

Odpowiedź: Najmniejszy z przedziałów (a;b), o końcach będącymi liczbami całkowitymi, do którego należy liczba \(\log_{10}0,75\), to przedział (-1,0)

[Galen]

Możesz również korzystać z tablic logarytmicznych,ale wcześniej zamienić logarytmy o danej podstawie na logarytmy dziesiętne.
\(log_7(\frac{5}{6})=\frac{log(\frac{5}{6})}{log7}=\frac{log5-log6}{log7}\approx\frac{0,69897-0,77815}{0,8451}=\frac{-0,0792}{0,845}=-0,94\in (-1;0)\)
c)
\(log_{\frac{3}{4}}2=\frac{log2}{log(\frac{3}{4})}=\frac{log2}{log3-log4}=\frac{0,301}{0,477-0,602}\approx -2,4\in (-3;-2)\)

[Galen]

Można jeszcze korzystać z własności funkcji logarytmicznych.
d)
\(log_{\frac{1}{10}}15=\frac{log15}{log(\frac{1}{10}}=\frac{log15}{-1}=\frac{więcej\;niż \;1}{-1}=-1,2\in (-2;-1)\)
Oszacowanie liczby \(log15\)
Funkcja \(f(x)=log x\) jest rosnąca
\(log 10<log 15<log 100\\1<log 15<2\)
e)
\(log_{\sqrt{2}}12\)
\(log_{\sqrt{2}}8<log_{\sqrt{2}}12<log_{\sqrt{2}}16\\6<log_{\sqrt2}12<8\)
Masz przedział (6;8),ale \((\sqrt{2})^7=8\sqrt{2}=11,3<12\)
Stąd przedział będzie od 7 do 8
\(log_{\sqrt{2}}12\in (7;8)\)

[Jerry]

d) \(\log_{0,1}15\)

Metodą proponowaną przez Galena:

Ponieważ
\(10<15<100\)
oraz funkcja \(f(x)=\log_{0,1} x\) jest malejąca, to
\(\log_{0,1}10>\log_{0,1}15>\log_{0,1}100\\-1>\log_{0,1}15>-2\)

Pozdrawiam

[Jerry]

e) \(\log_\sqrt{2}12\)

Z własności logarytmu: \(\log_\sqrt{2}12=\log_2144\)
Analogicznie jak wyżej
\(128<144<256\)
wobec rośnięcia funkcji \(y=\log_2x\)
\(\log_2128<\log_2144<\log_2256\)
\(7<\log_2144<8\)
\(7<\log_\sqrt{2}12<8\)

Pozdrawiam