Strona 1 z 1
Nierówność logarytmiczna
: 04 wrz 2020, 06:18
autor: Januszgolenia
\(1+\log_\frac{1}{2}(\sin x)+(\log_ \frac{1}{2}(\sin x))^2+(\log_ \frac{1}{2}(\sin x))^3+....... \le 2 \)
Re: Nierówność logarytmiczna
: 04 wrz 2020, 07:45
autor: kerajs
\(1+\log_\frac{1}{2}(\sin x)+(\log_ \frac{1}{2}(\sin x))^2+(\log_ \frac{1}{2}(\sin x))^3+....... \le 2 \ \ \wedge \ \ \sin x>0 \ \ \wedge \ \ |\log_{\frac12}\sin x |<1\\
\frac{1}{1-\log_\frac{1}{2}(\sin x)}<2\\
1-\log_\frac{1}{2}(\sin x)> \frac{1}{2}\\
\log_\frac{1}{2}(\sin x)<\frac12 \\
\sin x> \sqrt{ \frac{1}{2} }
\)
założenia:
\(\sin x>0 \ \ \wedge \ \ ( \frac12 < \sin x<2)\)
nie wpływają na rozwiązanie więc:
\(x \in \left( \frac{ \pi }{4}+k2\pi ; \frac{3\pi}{4}+k2\pi \right)\)
Re: Nierówność logarytmiczna
: 04 wrz 2020, 16:12
autor: Galen
\(sinx>0\;\;\;\;i\;\;\;\;\;(\frac{\sqrt{2}}{2}<sinx<2)\)
Dalej bez zmian.
Re: Nierówność logarytmiczna
: 06 wrz 2020, 15:40
autor: kerajs
Galen pisze: ↑04 wrz 2020, 16:12
\(\frac{\sqrt{2}}{2}<sinx<2\)
A z czego wynika
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) w założeniu?
Re: Nierówność logarytmiczna
: 06 wrz 2020, 16:22
autor: Galen
kerajs pisze: ↑06 wrz 2020, 15:40
Galen pisze: ↑04 wrz 2020, 16:12
\(\frac{\sqrt{2}}{2}<sinx<2\)
A z czego wynika
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) w założeniu?
\(\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{2}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Re: Nierówność logarytmiczna
: 06 wrz 2020, 16:40
autor: kerajs
Wobec tego skąd się bierze \(\sqrt{\frac12}\) w założeniu?
Re: Nierówność logarytmiczna
: 06 wrz 2020, 17:03
autor: Galen
kerajs pisze: ↑06 wrz 2020, 16:40
Wobec tego skąd się bierze
\(\sqrt{\frac12}\) w założeniu?
\(1-log_{ \frac{1}{2} }(sin x)> \frac{1}{2}\\1- \frac{1}{2}>log_{ \frac{1}{2} }(sinx)\\log_{ \frac{1}{2} }(sinx)< \frac{1}{2}\\log_{ \frac{1}{2} }( \frac{1}{2})^{ \frac{1}{2} }= \frac{1}{2}\;\;wstaw\; po\; prawej \;stronie\;nierówności\)
\(log_{ \frac{1}{2} }(sinx)<log_{\frac{1}{2}}( \frac{1}{2})^{ \frac{1}{2} }\)
Opuszczasz log po obu stronach nierówności,a ponieważ log o podstawie dodatniej i jednocześnie mniejszej od 1 jest funkcją malejącą,to zmieniamy zwrot nierówności...
\(sinx>( \frac{1}{2})^{ \frac{1}{2} }\\sinx> \sqrt{ \frac{1}{2} }\\sinx> \frac{ \sqrt{2} }{2}\)
Re: Nierówność logarytmiczna
: 06 wrz 2020, 17:10
autor: kerajs
Galen pisze: ↑06 wrz 2020, 17:03
kerajs pisze: ↑06 wrz 2020, 16:40
Wobec tego skąd się bierze
\(\sqrt{\frac12}\) w założeniu?
\(1-log_{ \frac{1}{2} }(sin x)> \frac{1}{2}\)
Pytałem skąd się wziął
\(\sqrt{\frac12}\) w
założeniu, a nie w rozwiązaniu.