całka

[mela1015]

Jak obliczyć taką całkę?
\( \int \sqrt{1+ \frac{1}{4t} } dt\)?

[kerajs]

Podstawienie:
\(k^2=1+ \frac{1}{t} \ \ \So \ \ t= \frac{1}{k^2-1} \wedge dt= \frac{-2kdk}{(k^2-1)^2} \)
da całkę:
\(...= \int_{}^{} \frac{-2k^2dk}{(k^2-1)^2}=... \)
którą rozwiązuje się całkując przez części:
\(...= \int_{}^{}k \cdot \frac{-2k}{(k^2-1)^2}dk=k \cdot \frac{1}{k^2-1} -\int_{}^{} \frac{dk}{k^2-1}=... \)
Poradzisz sobie dalej?

[mela1015]

Podstawienie:
\(k^2=1+ \frac{1}{t} \ \ \So \ \ t= \frac{1}{k^2-1} \wedge dt= \frac{-2kdk}{(k^2-1)^2} \)

a gdzie się podziała ta 4 z mianownika?

[kerajs]

Oj, przegapiłem ją. Sorry.
Ale zamiast wszystko zmieniać załóżmy, że Twoją całką była:
\( \int \sqrt{1+ \frac{1}{4T} } dT\)
Podstawienie \(t=4T\) zamienia ją na :
\(...= \frac{1}{4} \int \sqrt{1+ \frac{1}{t} } dt\)
a sposób na rozwiązanie tej już podałem.