forum.zadania.info

4y''+3y'=4/((e^(-3/4)x)+2)

Masz problem, bo to nie jest różniczka
https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=6&t=568

\(4y''+3y'= \frac{4}{e^ {\frac{-3}{4}x}+2} \) prosze o rozwiązanie krok po kroku

Podstawiam: y'=u. Wtedy y''=u' i równanie przyjmuje postać:
\(4u'+3u= \frac{4}{e^{- \frac{3}{4} x} +2} /:4\\
u'+ \frac{3}{4}u=\frac{1}{e^{- \frac{3}{4} x} +2} / \cdot e^{\frac{3}{4}x}\\
e^{\frac{3}{4}x}u'+\frac{3}{4} e^{\frac{3}{4}x}u= \frac{ e^{\frac{3}{4}x}}{ e^{-\frac{3}{4}x}+2}\\
e^{\frac{3}{4}x}u'+ \left(e^{\frac{3}{4}x} \right) 'u= \frac{ e^{\frac{3}{4}x}}{ e^{-\frac{3}{4}x}+2}\\
\left( e^{\frac{3}{4}x}u \right)'= \frac{ e^{\frac{3}{4}x}}{ e^{-\frac{3}{4}x}+2} \So e^{\frac{3}{4}x}u=\int \frac{ e^{\frac{3}{4}x}}{ e^{-\frac{3}{4}x}+2} dx\)

Trzeba policzyć całkę po prawej stronie. \[\int \frac{ e^{\frac{3}{4}x}}{ e^{-\frac{3}{4}x}+2} dx= \frac{2}{3} e^{\frac{3}{4}x}- \frac{1}{3}\ln \left(2 e^{\frac{3}{4}x}+1 \right)+C \]

Wobec tego \( e^{\frac{3}{4}x}u= \frac{2}{3} e^{\frac{3}{4}x}- \frac{1}{3}\ln \left(2 e^{\frac{3}{4}x}+1 \right)+C /:e^{\frac{3}{4}x} \\ u= \frac{2}{3}- \frac{1}{3} e^{-\frac{3}{4}x} \ln \left(2 e^{\frac{3}{4}x}+1 \right)+Ce^{-\frac{3}{4}x} \)
Ponieważ u=y', więc
\[y=\int \left(\frac{2}{3}- \frac{1}{3} e^{-\frac{3}{4}x} \ln \left(2 e^{\frac{3}{4}x}+1 \right)+Ce^{-\frac{3}{4}x} \right)dx \]

Mam (cichą) nadzieję, że dasz radę policzyć całkę \(\int e^{-\frac{3}{4}x} \ln \left(2 e^{\frac{3}{4}x}+1 \right) dx\).
Wtedy:

Odpowiedź: \(y=\frac{2}{3}x+C_1 e^{-\frac{3}{4}x}+\frac{8}{9}\ln \left( e^{-\frac{3}{4}x}+2\right)+\frac{4}{9} e^{-\frac{3}{4}x}\ln \left(2 e^{\frac{3}{4}x} +1\right) +C_2 \)

UWAGA znowu taki myk kosmetyczny: \(C_1=-\frac{4}{3}C\), żeby ładniej wyglądało
------------------------------------------
Policzę tę pierwsza całkę:
\(\int \frac{ e^{\frac{3}{4}x}}{ e^{-\frac{3}{4}x}+2} dx= \begin{vmatrix}t=e^{\frac{3}{4}x} \So dt=\frac{3}{4}e^{\frac{3}{4}x}dx\\
e^{-\frac{3}{4}x}=\frac{1}{t}\\dx=\frac{4}{3}e^{-\frac{3}{4}x}dt=\frac{4}{3}\frac{dt}{t} \end{vmatrix} =\int \frac{t \cdot \frac{4}{3} \frac{dt}{t} }{ \frac{1}{t}+2 }= \frac{4}{3} \int \frac{tdt}{2t+1}= \begin{vmatrix}2t+1=y\\dt=\frac{1}{2}y\\t=\frac{y-1}{2} \end{vmatrix} =\frac{1}{3}\int \frac{y-1}{y}dy=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\ln y +c \)

Zatem \(\int \frac{ e^{\frac{3}{4}x}}{ e^{-\frac{3}{4}x}+2} dx=\frac{1}{3} \left(2 e^{\frac{3}{4}x}+1 \right)-\frac{1}{3}\ln \left( 2 e^{\frac{3}{4}x}+1\right)+c=\frac{2}{3} e^{\frac{3}{4}x}-\frac{1}{3}\ln \left(2 e^{\frac{3}{4}x}+1 \right)+C ,\,\,\, \left[ \text{myk: }{}C=c+\frac{1}{3}\right] \)