przeliczalność

[Wap2121]

Niech \( X= \left\{ f \in \left\{ 0,1\right\} \right\} \) funkcja jest stała do pewnego miejsca czyli \(f \in X \iff f: \nn \to \left\{ 0,1\right\}\) oraz istnieje takie \(n_0 \in \nn \), że dla każdego \(m,n \ge n_0\) to \(f(m)=f(n)\). Udowodnij że zbiór X jest przeliczalny.

[grdv10]

Niech \(X_k\) będzie zbiorem takich funkcji które są stałe od \(k\)-tego miejsca. Wykaż, że \(X_k\) jest przeliczalny. Bo przecież jest przeliczalnie wiele ciągów \((k-1)\)-wyrazowych o wyrazach naturalnych. A możliwości obsadzenie stałej na dalszych miejscach też jest przeliczalnie wiele. Oczywiście \(X=\displaystyle\bigcup_k X_k\), więc jest zbiorem przeliczalnym.

Sformalizuj to rozumowanie.