Różnowartościowość

[Wap2121]

Pokaż, że funkcja \(f\colon X\to Y\) jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru \(Z\) oraz każdych funkcji \(g,h\colon Z\to X\), jeśli \(f\circ g=f\circ h\), to \(g=h\).

[grdv10]

Załóżmy, że funkcja \(f\) jest różnowartościowa i niech \(g,h\colon Z\to X\) będą dowolnymi funkcjami spełniającymi warunek \(f\circ g=f\circ h.\) Niech \(x\in Z.\) Wtedy \(f\bigl(g(x)\bigr)=f\bigl(h(x)\bigr)\) i z różnowartościowości funkcji \(f\) wnosimy, że \(g(x)=h(x).\)

Dowód implikacji odwrotnej wymaga nieco więcej zastanowienia. Załóżmy więc, że dla każdego zbioru \(Z\) oraz każdych funkcji \(g,h\colon Z\to X\) zachodzi warunek \((f\circ g=f\circ h)\implies g=h.\) Przystępujemy do udowodnienia różnowartościowości funkcji \(f\). Ustalmy w tym celu \(x,y\in X\) i załóżmy, że \(f(x)=f(y).\) Przyjmijmy \(Z=X\). Niech \(g,h\) będą funkcjami stałymi: \(g(t)=x,\ h(t)=y\) (dla każdego \(t\in X\)). Mamy w oczywisty sposób \(f\bigl(g(t)\bigr)=f(x)=f(y)=f\bigl(h(t)\bigr)\) (dla wszystkich \(t\in X\)). Zatem na mocy założenia jest \(g(t)=h(t)\) dla wszystkich \(t\in X\), skąd \(x=y\) z konstrukcji funkcji \(g,h\). Zatem funkcja \(f\) jest różnowartościowa.