forum.zadania.info

P jest dowolnym punktem wewnętrznym trójkąta ABC.
Przez punkt P poprowadzono odcinki DE,FG,HI odpowiednio równoległe do boków AB, BC,CA.
Wykaż, że \( \frac{|DE|}{|AB|}+ \frac{|FG|}{|BC|}+ \frac{|HI|}{|AC|}=2 \)

Z podobieństwa trójkątów DEC i ABC mam:
\(\frac{|DE|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}\)
więc:
\(\frac{|DE|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}=1-\frac{|AD|}{|AC|}=1-\frac{|HP|}{|AC|}\)

Analogicznie z podobieństwa trójkątów AGF i ABC:
\(\frac{|GF|}{|BC|}=\frac{|AF|}{|AC|}=1-\frac{|CF|}{|AC|}=1-\frac{|IP|}{|AC|}\)


Teraz teza:
\(L= \frac{|DE|}{|AB|}+ \frac{|FG|}{|BC|}+ \frac{|HI|}{|AC|}=1-\frac{|HP|}{|AC|}+1-\frac{|IP|}{|AC|}
+ \frac{|HP|+|IP|}{|AC|}=2=P \)
Q.E.D.

Kerajs, bardzo dziękuję z to rozwiązanie. Podoba mi się ! Szkoda , ze sama go nie wymyśliłam .

Proszę bardzo.
Przyznam się, że sądziłem iż teza jest nieprawdziwa.